MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfnn3 Unicode version

Theorem dfnn3 9805
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
dfnn3  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2377 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
2 eleq2 2377 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
32raleqbi1dv 2778 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
41, 3anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
5 dfnn2 9804 . . . . 5  |-  NN  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }
65eqeq2i 2326 . . . 4  |-  ( x  =  NN  <->  x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) } )
7 eleq2 2377 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
8 eleq2 2377 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
98raleqbi1dv 2778 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
107, 9anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
116, 10sylbir 204 . . 3  |-  ( x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  ->  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
12 nnssre 9795 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
135, 12eqsstr3i 3243 . . . 4  |-  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  C_  RR
14 1nn 9802 . . . . 5  |-  1  e.  NN
15 peano2nn 9803 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
1615rgen 2642 . . . . 5  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
1714, 16pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN )
1813, 17pm3.2i 441 . . 3  |-  ( |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  (
y  +  1 )  e.  z ) } 
C_  RR  /\  (
1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN ) )
194, 11, 18intabs 4209 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
20 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <->  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) ) )
2120abbii 2428 . . 3  |-  { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
2221inteqi 3903 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
23 dfnn2 9804 . 2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2419, 22, 233eqtr4ri 2347 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577    C_ wss 3186   |^|cint 3899  (class class class)co 5900   RRcr 8781   1c1 8783    + caddc 8785   NNcn 9791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-nn 9792
  Copyright terms: Public domain W3C validator