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Theorem dfod2 14877
Description: An alternative definition of the order of a group element is as the cardinality of the cyclic subgroup generated by the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dfod2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dfod2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  e.  Fin )
2 odf1.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odf1.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  (.g
`  G )
42, 3mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
543expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
65an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
76adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
8 odf1.4 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
97, 8fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  F : ZZ --> X )
10 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( F : ZZ --> X  ->  ran  F  C_  X )
11 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  e.  _V
122, 11eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
1312ssex 4158 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  C_  X  ->  ran 
F  e.  _V )
149, 10, 133syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  _V )
15 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ->  y  e.  ZZ )
1615adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
17 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
18 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
198, 18elrnmpt1s 4927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  .x.  A
)  e.  _V )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
2016, 17, 19sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  .x.  A )  e.  ran  F )
2120ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
22 zmodfz 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2322ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2423adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  mod  ( O `  A ) )  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
25 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
2715adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
28 moddvds 12538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
3027zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
3125nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
32 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
33 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
36 elfzm11 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  <-> 
( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3732, 35, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3837biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A
) ) )
3938simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  0  <_  y )
4038simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  <  ( O `  A
) )
41 modid 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( O `  A
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( y  mod  ( O `  A
) )  =  y )
4230, 31, 39, 40, 41syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  mod  ( O `  A ) )  =  y )
4342eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( x  mod  ( O `  A
) )  =  y ) )
44 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  mod  ( O `
 A ) )  =  y  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) )
4543, 44syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
46 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  G  e.  Grp )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
48 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  X
)
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  A  e.  X )
50 odf1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  G
)
51 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
522, 50, 3, 51odcong 14864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5347, 49, 26, 27, 52syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5429, 45, 533bitr3rd 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
5554ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
56 reu6i 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( ( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5724, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5857ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
59 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
.x.  A )  e. 
_V
6059rgenw 2610 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  ZZ  ( x  .x.  A )  e.  _V
61 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  (
z  =  ( y 
.x.  A )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6261reubidv 2724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  ( E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
638, 62ralrnmpt 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  .x.  A )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6460, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
6558, 64sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) )
6766f1ompt 5682 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) -1-1-onto-> ran  F  <->  ( A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F  /\  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) ) )
6821, 65, 67sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran  F )
69 f1oen2g 6878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ran  F  e.  _V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
|->  ( y  .x.  A
) ) : ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran 
F )  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ran  F )
701, 14, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ~~  ran  F )
71 enfi 7079 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ran  F  ->  ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  <->  ran  F  e. 
Fin ) )
7270, 71syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )
731, 72mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  Fin )
74 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( ran 
F  e.  Fin  ->  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  ( # `  ran  F ) )
7573, 74syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  if ( ran 
F  e.  Fin , 
( # `  ran  F
) ,  0 )  =  ( # `  ran  F ) )
76 fz01en 10818 . . . . . 6  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... ( O `  A )
) )
77 ensym 6910 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ( 1 ... ( O `  A
) )  ->  (
1 ... ( O `  A ) )  ~~  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
7834, 76, 773syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
79 entr 6913 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  ~~  ran  F
)  ->  ( 1 ... ( O `  A ) )  ~~  ran  F )
8078, 70, 79syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F )
81 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  e.  Fin )
82 hashen 11346 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  e.  Fin  /\  ran  F  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F )  <->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F ) )
8381, 73, 82syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  (
# `  ran  F )  <-> 
( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ran  F ) )
8480, 83mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F ) )
85 nnnn0 9972 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
8685adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
87 hashfz1 11345 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  ( O `  A ) )
8886, 87syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( O `  A ) )
8975, 84, 883eqtr2rd 2322 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
90 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  0 )
912, 50, 3, 8odinf 14876 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
92 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -. 
ran  F  e.  Fin  ->  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  0 )
9391, 92syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  0 )
9490, 93eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
95943expa 1151 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
962, 50odcl 14851 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
9796adantl 452 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
98 elnn0 9967 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
9997, 98sylib 188 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  e.  NN  \/  ( O `  A
)  =  0 ) )
10089, 95, 99mpjaodan 761 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782    mod cmo 10973   #chash 11337    || cdivides 12531   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840
This theorem is referenced by:  oddvds2  14879  cyggenod  15171  cyggenod2  15172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-od 14844
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