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Theorem dfoi 7415
Description: Rewrite df-oi 7414 with abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfoi.1  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
dfoi.2  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
dfoi.3  |-  F  = recs ( G )
Assertion
Ref Expression
dfoi  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )
Distinct variable groups:    h, j,
t, u, v, w, x, z, A    u, C, v    z, F    R, h, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, w, t, h, j)    F( x, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)

Proof of Theorem dfoi
StepHypRef Expression
1 df-oi 7414 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
2 dfoi.3 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
3 dfoi.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
4 dfoi.1 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  _V  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
65raleqdv 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  _V  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
75, 6riotaeqbidv 6490 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
87mpteq2ia 4234 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
93, 8eqtri 2409 . . . . . 6  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
10 recseq 6572 . . . . . 6  |-  ( G  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( G )  = recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |- recs ( G )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
122, 11eqtri 2409 . . . 4  |-  F  = recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
1312imaeq1i 5142 . . . . . . . 8  |-  ( F
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )
1413raleqi 2853 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t )
1514rexbii 2676 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1716rabbiia 2891 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }
1812, 17reseq12i 5086 . . 3  |-  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
19 ifeq1 3688 . . 3  |-  ( ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } )  =  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )  =  if (
( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
2018, 19ax-mp 8 . 2  |-  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
211, 20eqtr4i 2412 1  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655   _Vcvv 2901   (/)c0 3573   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   Se wse 4482    We wwe 4483   Oncon0 4524   ran crn 4821    |` cres 4822   "cima 4823   iota_crio 6480  recscrecs 6570  OrdIsocoi 7413
This theorem is referenced by:  ordtypelem1  7422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-xp 4826  df-cnv 4828  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fv 5404  df-riota 6487  df-recs 6571  df-oi 7414
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