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Theorem dfoi 7242
Description: Rewrite df-oi 7241 with abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfoi.1  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
dfoi.2  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
dfoi.3  |-  F  = recs ( G )
Assertion
Ref Expression
dfoi  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )
Distinct variable groups:    h, j,
t, u, v, w, x, z, A    u, C, v    z, F    R, h, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, w, t, h, j)    F( x, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)

Proof of Theorem dfoi
StepHypRef Expression
1 df-oi 7241 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
2 dfoi.3 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
3 dfoi.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
4 dfoi.1 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
54a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  _V  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
65raleqdv 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  _V  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
75, 6riotaeqbidv 6323 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
87mpteq2ia 4118 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
93, 8eqtri 2316 . . . . . 6  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
10 recseq 6405 . . . . . 6  |-  ( G  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( G )  = recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |- recs ( G )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
122, 11eqtri 2316 . . . 4  |-  F  = recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
1312imaeq1i 5025 . . . . . . . 8  |-  ( F
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )
1413raleqi 2753 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t )
1514rexbii 2581 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t )
1615a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1716rabbiia 2791 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }
1812, 17reseq12i 4969 . . 3  |-  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
19 ifeq1 3582 . . 3  |-  ( ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } )  =  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )  =  if (
( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
2018, 19ax-mp 8 . 2  |-  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
211, 20eqtr4i 2319 1  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  ( F  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t } ) ,  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Se wse 4366    We wwe 4367   Oncon0 4408   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   iota_crio 6313  recscrecs 6403  OrdIsocoi 7240
This theorem is referenced by:  ordtypelem1  7249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-xp 4711  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fv 5279  df-riota 6320  df-recs 6404  df-oi 7241
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