Theorem dfom2 3133

Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3122).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	|- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
2	1	elon 2957	. . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
3	2	anbi1i 481	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4		onsssuc 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5		ontri1 2981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
6	4, 5	bitr3d 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
7	6	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8		limeq 2960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
9	8	negbid 611	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
10	9	elrab 1905	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
13	12	pm5.74da 586	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14		visset 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15		limelon 3032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
16	14, 15	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
17	16	pm4.71ri 638	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
18	17	imbi1i 186	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19		impexp 347	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20		ibar 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
21	20	imbi2d 612	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22		pm4.1 164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
23	21, 22	syl5bb 532	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
24	23	pm5.74i 584	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
25	18, 19, 24	3bitr 177	. . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
26	13, 25	syl6rbbr 539	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28		suceloni 3062	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29		onelon 2972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
30	29	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
32	31	ancrd 299	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
33	27, 32	impbid2 518	. . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
34	33	imbi1d 613	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35		impexp 347	. . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
36	34, 35	syl5bbr 534	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
37	26, 36	bitrd 528	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
38	37	albidv 1278	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39		dfss2 2058	. . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
40	38, 39	syl6bbr 538	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
41	40	pm5.32i 645	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
42	3, 41	bitr3 175	. . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
43	42	abbii 1575	. 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44		df-om 3132	. 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45		df-rab 1652	. 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
46	43, 44, 45	3eqtr4 1505	1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  Ord word 2947  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain