Theorem dfom3 4639

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2716	. . . . 5 |- (/) e. V
2	1	elintab 2548	. . . 4 |- ((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x))
3		pm3.26 319	. . . 4 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x)
4	2, 3	mpgbir 990	. . 3 |- (/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
5		suceq 3040	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> suc y = suc z)
6	5	eleq1d 1543	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (suc y e. x <-> suc z e. x))
7	6	rcla4cv 1877	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. x suc y e. x -> (z e. x -> suc z e. x))
8	7	adantl 390	. . . . . . . 8 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (z e. x -> suc z e. x))
9	8	a2i 9	. . . . . . 7 |- ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
10	9	19.20i 994	. . . . . 6 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
11		visset 1816	. . . . . . 7 |- z e. V
12	11	elintab 2548	. . . . . 6 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x))
13	11	sucex 3056	. . . . . . 7 |- suc z e. V
14	13	elintab 2548	. . . . . 6 |- (suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
15	10, 12, 14	3imtr4 219	. . . . 5 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
16	15	a1i 8	. . . 4 |- (z e. om -> (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}))
17	16	rgen 1701	. . 3 |- A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
18		peano5 3159	. . 3 |- (((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} /\ A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})) -> om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
19	4, 17, 18	mp2an 699	. 2 |- om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
20		peano1 3155	. . . 4 |- (/) e. om
21		peano2 3156	. . . . 5 |- (y e. om -> suc y e. om)
22	21	rgen 1701	. . . 4 |- A.y e. om suc y e. om
23		omex 4636	. . . . . 6 |- om e. V
24		eleq2 1538	. . . . . . . 8 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
25		eleq2 1538	. . . . . . . . 9 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
26	25	raleqd 1794	. . . . . . . 8 |- (x = om -> (A.y e. x suc y e. x <-> A.y e. om suc y e. om))
27	24, 26	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> ((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om)))
28		eleq2 1538	. . . . . . 7 |- (x = om -> (z e. x <-> z e. om))
29	27, 28	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (x = om -> ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) <-> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om)))
30	23, 29	cla4v 1871	. . . . 5 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
31	12, 30	sylbi 199	. . . 4 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
32	20, 22, 31	mp2ani 702	. . 3 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> z e. om)
33	32	ssriv 2072	. 2 |- |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} (_ om
34	19, 33	eqssi 2081	1 |- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537  suc csuc 2956  omcom 3137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138

Copyright terms: Public domain