Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfom3 Structured version   Unicode version

Theorem dfom3 7594
 Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dfom3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfom3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4331 . . . . 5
21elintab 4053 . . . 4
3 simpl 444 . . . 4
42, 3mpgbir 1559 . . 3
5 suceq 4638 . . . . . . . . . 10
65eleq1d 2501 . . . . . . . . 9
76rspccv 3041 . . . . . . . 8
87adantl 453 . . . . . . 7
98a2i 13 . . . . . 6
109alimi 1568 . . . . 5
11 vex 2951 . . . . . 6
1211elintab 4053 . . . . 5
1311sucex 4783 . . . . . 6
1413elintab 4053 . . . . 5
1510, 12, 143imtr4i 258 . . . 4
1615rgenw 2765 . . 3
17 peano5 4860 . . 3
184, 16, 17mp2an 654 . 2
19 peano1 4856 . . . 4
20 peano2 4857 . . . . 5
2120rgen 2763 . . . 4
22 omex 7590 . . . . . 6
23 eleq2 2496 . . . . . . . 8
24 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
2524raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8
2623, 25anbi12d 692 . . . . . . 7
27 eleq2 2496 . . . . . . 7
2826, 27imbi12d 312 . . . . . 6
2922, 28spcv 3034 . . . . 5
3012, 29sylbi 188 . . . 4
3119, 21, 30mp2ani 660 . . 3
3231ssriv 3344 . 2
3318, 32eqssi 3356 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697   wss 3312  c0 3620  cint 4042   csuc 4575  com 4837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838
 Copyright terms: Public domain W3C validator