Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfon2 Structured version   Unicode version

Theorem dfon2 25421
Description:  On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfon2
Dummy variables  z  w  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-on 4587 . 2  |-  On  =  { x  |  Ord  x }
2 tz7.7 4609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) ) )
3 df-pss 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) )
42, 3syl6bbr 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  y  C.  x ) )
54exbiri 607 . . . . . . 7  |-  ( Ord  x  ->  ( Tr  y  ->  ( y  C.  x  ->  y  e.  x
) ) )
65com23 75 . . . . . 6  |-  ( Ord  x  ->  ( y  C.  x  ->  ( Tr  y  ->  y  e.  x ) ) )
76imp3a 422 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( (
y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
87alrimiv 1642 . . . 4  |-  ( Ord  x  ->  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
9 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
10 dfon2lem3 25414 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) )
1211simpld 447 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Tr  x )
139dfon2lem7 25418 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
t  e.  x  ->  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) ) )
1413ralrimiv 2790 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. t  e.  x  A. u
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) )
15 dfon2lem9 25420 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  _E  Fr  x )
16 psseq2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  z ) )
1716anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  z  /\  Tr  u
) ) )
18 elequ2 1731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  z ) )
1917, 18imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
2019albidv 1636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
21 psseq1 3436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C.  z  <->  v  C.  z ) )
22 treq 4310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  ( Tr  u  <->  Tr  v )
)
2321, 22anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C.  z  /\  Tr  u )  <->  ( v  C.  z  /\  Tr  v
) ) )
24 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  z  <->  v  e.  z ) )
2523, 24imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2625cbvalv 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) )
2720, 26syl6bb 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2827rspccv 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
z  e.  x  ->  A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
29 psseq2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  w ) )
3029anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  w  /\  Tr  u
) ) )
31 elequ2 1731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  w ) )
3230, 31imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w ) ) )
3332albidv 1636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
) ) )
34 psseq1 3436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  (
u  C.  w  <->  y  C.  w ) )
35 treq 4310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  ( Tr  u  <->  Tr  y )
)
3634, 35anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  C.  w  /\  Tr  u )  <->  ( y  C.  w  /\  Tr  y
) ) )
37 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  w  <->  y  e.  w ) )
3836, 37imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
)  <->  ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
3938cbvalv 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) )
4033, 39syl6bb 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) ) )
4140rspccv 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
w  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
4228, 41anim12d 548 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) ) )
43 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
44 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
4543, 44dfon2lem5 25416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v ( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) )  -> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
4642, 45syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4746ralrimivv 2799 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
4815, 47jca 520 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4914, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
50 dfwe2 4764 . . . . . . 7  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) ) )
51 epel 4499 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
52 biid 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  <->  z  =  w )
53 epel 4499 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  _E  z  <->  w  e.  z )
5451, 52, 533orbi123i 1144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <-> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
55542ralbii 2733 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
5655anbi2i 677 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) )  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5750, 56bitri 242 . . . . . 6  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5849, 57sylibr 205 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  We  x )
59 df-ord 4586 . . . . 5  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
6012, 58, 59sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Ord  x )
618, 60impbii 182 . . 3  |-  ( Ord  x  <->  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
6261abbii 2550 . 2  |-  { x  |  Ord  x }  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
631, 62eqtri 2458 1  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    \/ w3o 936   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    C. wpss 3323   class class class wbr 4214   Tr wtr 4304    _E cep 4494    Fr wfr 4540    We wwe 4542   Ord word 4582   Oncon0 4583
This theorem is referenced by:  dfon3  25739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589
  Copyright terms: Public domain W3C validator