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Theorem dfon2 24219
Description:  On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfon2
Dummy variables  z  w  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-on 4412 . 2  |-  On  =  { x  |  Ord  x }
2 tz7.7 4434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) ) )
3 df-pss 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) )
42, 3syl6bbr 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  y  C.  x ) )
54exbiri 605 . . . . . . 7  |-  ( Ord  x  ->  ( Tr  y  ->  ( y  C.  x  ->  y  e.  x
) ) )
65com23 72 . . . . . 6  |-  ( Ord  x  ->  ( y  C.  x  ->  ( Tr  y  ->  y  e.  x ) ) )
76imp3a 420 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( (
y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
87alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( Ord  x  ->  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
9 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
10 dfon2lem3 24212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) )
1211simpld 445 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Tr  x )
139dfon2lem7 24216 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
t  e.  x  ->  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) ) )
1413ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. t  e.  x  A. u
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) )
15 dfon2lem9 24218 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  _E  Fr  x )
16 psseq2 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  z ) )
1716anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  z  /\  Tr  u
) ) )
18 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  z ) )
1917, 18imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
2019albidv 1615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
21 psseq1 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C.  z  <->  v  C.  z ) )
22 treq 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  ( Tr  u  <->  Tr  v )
)
2321, 22anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C.  z  /\  Tr  u )  <->  ( v  C.  z  /\  Tr  v
) ) )
24 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  z  <->  v  e.  z ) )
2523, 24imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2625cbvalv 1955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) )
2720, 26syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2827rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
z  e.  x  ->  A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
29 psseq2 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  w ) )
3029anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  w  /\  Tr  u
) ) )
31 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  w ) )
3230, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w ) ) )
3332albidv 1615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
) ) )
34 psseq1 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  (
u  C.  w  <->  y  C.  w ) )
35 treq 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  ( Tr  u  <->  Tr  y )
)
3634, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  C.  w  /\  Tr  u )  <->  ( y  C.  w  /\  Tr  y
) ) )
37 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  w  <->  y  e.  w ) )
3836, 37imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
)  <->  ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
3938cbvalv 1955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) )
4033, 39syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) ) )
4140rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
w  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
4228, 41anim12d 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
44 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
4543, 44dfon2lem5 24214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v ( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) )  -> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
4642, 45syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4746ralrimivv 2647 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
4815, 47jca 518 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4914, 48syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
50 dfwe2 4589 . . . . . . 7  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) ) )
51 epel 4324 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
52 biid 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  <->  z  =  w )
53 epel 4324 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  _E  z  <->  w  e.  z )
5451, 52, 533orbi123i 1141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <-> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
55542ralbii 2582 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
5655anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) )  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5750, 56bitri 240 . . . . . 6  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5849, 57sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  We  x )
59 df-ord 4411 . . . . 5  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
6012, 58, 59sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Ord  x )
618, 60impbii 180 . . 3  |-  ( Ord  x  <->  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
6261abbii 2408 . 2  |-  { x  |  Ord  x }  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
631, 62eqtri 2316 1  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    \/ w3o 933   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    C. wpss 3166   class class class wbr 4039   Tr wtr 4129    _E cep 4319    Fr wfr 4365    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408
This theorem is referenced by:  dfon3  24503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414
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