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Theorem dfon2lem3 25412
Description: Lemma for dfon2 25419. All sets satisfying the new definition are transitive and untangled. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, A, z
Allowed substitution hints:    V( x, z)

Proof of Theorem dfon2lem3
Dummy variables  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 untelirr 25157 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
2 eluni2 4019 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  E. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x )
3 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
5 treq 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
6 raleq 2904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
74, 5, 63anbi123d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t ) ) )
83, 7elab 3082 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
9 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
10 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
119, 10bitrd 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
1211notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
1312cbvralv 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
1413biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
15143ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
168, 15sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
17 rsp 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  -.  z  e.  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z ) )
1918rexlimiv 2824 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x  ->  -.  z  e.  z )
202, 19sylbi 188 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  -.  z  e.  z )
211, 20mprg 2775 . . . 4  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
22 dfon2lem2 25411 . . . . 5  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A
23 dfpss2 3432 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A ) )
24 dfon2lem1 25410 . . . . . . 7  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
25 ssexg 4349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
2622, 25mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
27 psseq1 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A ) )
28 treq 4308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
2927, 28anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) ) )
30 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3129, 30imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3231spcgv 3036 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( A. x
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  ->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3332imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3426, 33sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
35 snssi 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )
36 df-suc 4587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)
3736sseq1i 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)  C_  A )
38 unss 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } } )  C_  A
)
3937, 38bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A ) )
4039biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
4122, 35, 40sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
42 suctr 4665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
4324, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
44 untuni 25158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
4544, 16mprgbir 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z
46 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t  w  C_  A
47 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t Tr  w
48 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  w  -.  t  e.  t
4946, 47, 48nf3an 1849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )
5049nfab 2576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5150nfuni 4021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5251untsucf 25159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
5345, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t
54 sucexg 4790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
55 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A ) )
56 treq 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  z  <->  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
57 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t
z
5851nfsuc 4652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5957, 58raleqf 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( A. t  e.  z  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
)
6055, 56, 593anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t ) ) )
61 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C_  A  <->  z  C_  A ) )
62 treq 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( Tr  w  <->  Tr  z )
)
63 raleq 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) )
6461, 62, 633anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) ) )
6564cbvabv 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  { z  |  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) }
6660, 65elab2g 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
) )
6766biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6854, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6968com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7043, 53, 69mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7170com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
72 elssuni 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
73 sucssel 4674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7472, 73syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7571, 74syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7641, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
7734, 76syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7824, 77mpan2i 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7923, 78syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8022, 79mpani 658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8121, 80mt3i 120 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )
8224, 45pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )
83 treq 4308 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  Tr  A
) )
84 raleq 2904 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8583, 84anbi12d 692 . . . 4  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )  <->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) ) )
8682, 85mpbii 203 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8781, 86syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z )
)
8887ex 424 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320    C. wpss 3321   {csn 3814   U.cuni 4015   Tr wtr 4302   suc csuc 4583
This theorem is referenced by:  dfon2lem4  25413  dfon2lem5  25414  dfon2lem7  25416  dfon2lem8  25417  dfon2lem9  25418  dfon2  25419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-uni 4016  df-iun 4095  df-tr 4303  df-suc 4587
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