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Theorem dfon2lem3 24141
Description: Lemma for dfon2 24148. All sets satisfying the new definition are transitive and untangled. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, A, z
Allowed substitution hints:    V( x, z)

Proof of Theorem dfon2lem3
Dummy variables  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 untelirr 24054 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
2 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  E. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x )
3 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
5 treq 4119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
6 raleq 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
74, 5, 63anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t ) ) )
83, 7elab 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
9 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
10 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
119, 10bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
1211notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
1312cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
1413biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
15143ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
168, 15sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
17 rsp 2603 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  -.  z  e.  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z
) )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z ) )
1918rexlimiv 2661 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x  ->  -.  z  e.  z )
202, 19sylbi 187 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  -.  z  e.  z )
211, 20mprg 2612 . . . 4  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
22 dfon2lem2 24140 . . . . 5  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A
23 dfpss2 3261 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A ) )
24 dfon2lem1 24139 . . . . . . 7  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
25 ssexg 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
2622, 25mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
27 psseq1 3263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A ) )
28 treq 4119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) ) )
30 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3129, 30imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3231spcgv 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( A. x
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  ->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3332imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3426, 33sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
35 snssi 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )
36 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)
3736sseq1i 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)  C_  A )
38 unss 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } } )  C_  A
)
3937, 38bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A ) )
4039biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
4122, 35, 40sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
42 suctr 4475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
4324, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
44 untuni 24055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
4544, 16mprgbir 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z
46 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t  w  C_  A
47 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t Tr  w
48 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  w  -.  t  e.  t
4946, 47, 48nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )
5049nfab 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5150nfuni 3833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5251untsucf 24056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
5345, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t
54 sucexg 4601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
55 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A ) )
56 treq 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  z  <->  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
57 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t
z
5851nfsuc 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5957, 58raleqf 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( A. t  e.  z  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
)
6055, 56, 593anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t ) ) )
61 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C_  A  <->  z  C_  A ) )
62 treq 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( Tr  w  <->  Tr  z )
)
63 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) )
6461, 62, 633anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) ) )
6564cbvabv 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  { z  |  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) }
6660, 65elab2g 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
) )
6766biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6854, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6968com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7043, 53, 69mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7170com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
72 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
73 sucssel 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7472, 73syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7571, 74syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7641, 75mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
7734, 76syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7824, 77mpan2i 658 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7923, 78syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8022, 79mpani 657 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8121, 80mt3i 118 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )
8224, 45pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )
83 treq 4119 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  Tr  A
) )
84 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8583, 84anbi12d 691 . . . 4  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )  <->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) ) )
8682, 85mpbii 202 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8781, 86syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z )
)
8887ex 423 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   U.cuni 3827   Tr wtr 4113   suc csuc 4394
This theorem is referenced by:  dfon2lem4  24142  dfon2lem5  24143  dfon2lem7  24145  dfon2lem8  24146  dfon2lem9  24147  dfon2  24148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-iun 3907  df-tr 4114  df-suc 4398
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