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Theorem dfon2lem4 24213
Description: Lemma for dfon2 24219. If two sets satisfy the new definition, then one is a subset of the other. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dfon2lem4.1  |-  A  e. 
_V
dfon2lem4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
21sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( A  i^i  B )  e.  A
)
3 dfon2lem4.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
4 dfon2lem3 24212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) )
65simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  A. z  e.  A  -.  z  e.  z )
7 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( A  i^i  B )  ->  ( z  e.  z  <->  ( A  i^i  B )  e.  z ) )
8 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  z  <->  ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B ) ) )
97, 8bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( A  i^i  B )  ->  ( z  e.  z  <->  ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B ) ) )
109notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( A  i^i  B )  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B
) ) )
1110rspccv 2894 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  -.  z  e.  z  ->  ( ( A  i^i  B
)  e.  A  ->  -.  ( A  i^i  B
)  e.  ( A  i^i  B ) ) )
126, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  A  ->  -.  ( A  i^i  B
)  e.  ( A  i^i  B ) ) )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  A  ->  -.  ( A  i^i  B
)  e.  ( A  i^i  B ) ) )
142, 13syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B )  ->  -.  ( A  i^i  B
)  e.  ( A  i^i  B ) ) )
1514pm2.01d 161 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  ->  -.  ( A  i^i  B
)  e.  ( A  i^i  B ) )
16 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  e.  A  /\  ( A  i^i  B )  e.  B ) )
1715, 16sylnib 295 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( A  i^i  B )  e.  A  /\  ( A  i^i  B )  e.  B ) )
185simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  Tr  A )
19 dfon2lem4.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
20 dfon2lem3 24212 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) )
2221simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  Tr  B )
23 trin 4139 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  Tr  B )  ->  Tr  ( A  i^i  B ) )
2418, 22, 23syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  ->  Tr  ( A  i^i  B
) )
253inex1 4171 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  e. 
_V
26 psseq1 3276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( x  C.  A  <->  ( A  i^i  B )  C.  A ) )
27 treq 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( Tr  x 
<->  Tr  ( A  i^i  B ) ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
x  C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  Tr  ( A  i^i  B ) ) ) )
29 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( x  e.  A  <->  ( A  i^i  B )  e.  A ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  Tr  ( A  i^i  B
) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  A ) ) )
3125, 30spcv 2887 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  Tr  ( A  i^i  B
) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  A ) )
3231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  Tr  ( A  i^i  B ) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  A ) )
3324, 32mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  C.  A  -> 
( A  i^i  B
)  e.  A ) )
34 psseq1 3276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( A  i^i  B )  ->  ( y  C.  B  <->  ( A  i^i  B )  C.  B ) )
35 treq 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( A  i^i  B )  ->  ( Tr  y 
<->  Tr  ( A  i^i  B ) ) )
3634, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
y  C.  B  /\  Tr  y )  <->  ( ( A  i^i  B )  C.  B  /\  Tr  ( A  i^i  B ) ) ) )
37 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  i^i  B )  ->  ( y  e.  B  <->  ( A  i^i  B )  e.  B ) )
3836, 37imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
( y  C.  B  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  B )  <-> 
( ( ( A  i^i  B )  C.  B  /\  Tr  ( A  i^i  B ) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  B ) ) )
3925, 38spcv 2887 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C.  B  /\  Tr  ( A  i^i  B
) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  B ) )
4039adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A  i^i  B )  C.  B  /\  Tr  ( A  i^i  B ) )  ->  ( A  i^i  B )  e.  B ) )
4124, 40mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  C.  B  -> 
( A  i^i  B
)  e.  B ) )
4233, 41anim12d 546 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  ( A  i^i  B )  C.  B )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  A  /\  ( A  i^i  B )  e.  B ) ) )
4317, 42mtod 168 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  ( A  i^i  B ) 
C.  B ) )
44 ianor 474 . . . 4  |-  ( -.  ( ( A  i^i  B )  C.  A  /\  ( A  i^i  B ) 
C.  B )  <->  ( -.  ( A  i^i  B ) 
C.  A  \/  -.  ( A  i^i  B ) 
C.  B ) )
4543, 44sylib 188 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( -.  ( A  i^i  B )  C.  A  \/  -.  ( A  i^i  B )  C.  B ) )
46 sspss 3288 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  <->  ( ( A  i^i  B )  C.  A  \/  ( A  i^i  B )  =  A ) )
471, 46mpbi 199 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C.  A  \/  ( A  i^i  B )  =  A )
48 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
49 sspss 3288 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  <->  ( ( A  i^i  B )  C.  B  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
5048, 49mpbi 199 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C.  B  \/  ( A  i^i  B )  =  B )
51 orel1 371 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  i^i  B
)  C.  A  ->  ( ( ( A  i^i  B )  C.  A  \/  ( A  i^i  B )  =  A )  -> 
( A  i^i  B
)  =  A ) )
52 orc 374 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  A  ->  (
( A  i^i  B
)  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
5351, 52syl6 29 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  i^i  B
)  C.  A  ->  ( ( ( A  i^i  B )  C.  A  \/  ( A  i^i  B )  =  A )  -> 
( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) ) )
54 orel1 371 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  i^i  B
)  C.  B  ->  ( ( ( A  i^i  B )  C.  B  \/  ( A  i^i  B )  =  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  B ) )
55 olc 373 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  B  ->  (
( A  i^i  B
)  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
5654, 55syl6 29 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  i^i  B
)  C.  B  ->  ( ( ( A  i^i  B )  C.  B  \/  ( A  i^i  B )  =  B )  -> 
( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) ) )
5753, 56jaoa 496 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  i^i  B )  C.  A  \/  -.  ( A  i^i  B
)  C.  B )  ->  ( ( ( ( A  i^i  B ) 
C.  A  \/  ( A  i^i  B )  =  A )  /\  (
( A  i^i  B
)  C.  B  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) ) )
5847, 50, 57mp2ani 659 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  i^i  B )  C.  A  \/  -.  ( A  i^i  B
)  C.  B )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
5945, 58syl 15 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
60 df-ss 3179 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
61 sseqin2 3401 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
6260, 61orbi12i 507 . 2  |-  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  <->  ( ( A  i^i  B )  =  A  \/  ( A  i^i  B )  =  B ) )
6359, 62sylibr 203 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   Tr wtr 4129
This theorem is referenced by:  dfon2lem5  24214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844  df-iun 3923  df-tr 4130  df-suc 4414
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