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Theorem dfon2lem5 25406
Description: Lemma for dfon2 25411. Two sets satisfying the new definition also satisfy trichotomy with respect to 
e. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dfon2lem5.1  |-  A  e. 
_V
dfon2lem5.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2lem5.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 dfon2lem5.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfon2lem4 25405 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
4 dfpss2 3424 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) )
5 dfpss2 3424 . . . . . . 7  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A ) )
6 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
76notbii 288 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  A  <->  -.  A  =  B )
87anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A
)  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
95, 8bitri 241 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
104, 9orbi12i 508 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
11 andir 839 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
1210, 11bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )
)
13 orcom 377 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( B  C.  A  \/  A  C.  B ) )
14 dfon2lem3 25404 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) ) )
152, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) )
1615simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  Tr  B )
17 psseq1 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C.  A  <->  B  C.  A ) )
18 treq 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( Tr  x  <->  Tr  B )
)
1917, 18anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( B  C.  A  /\  Tr  B
) ) )
20 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
2119, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  <->  ( ( B 
C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A ) ) )
222, 21spcv 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( B  C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A )
)
2322exp3acom23 1381 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  B  ->  ( B 
C.  A  ->  B  e.  A ) ) )
2423imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  Tr  B )  ->  ( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
2516, 24sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
26 dfon2lem3 25404 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
271, 26ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) )
2827simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  Tr  A )
29 psseq1 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C.  B  <->  A  C.  B ) )
30 treq 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( Tr  y  <->  Tr  A )
)
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C.  B  /\  Tr  y )  <->  ( A  C.  B  /\  Tr  A
) ) )
32 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  B  <->  A  e.  B ) )
3331, 32imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
)  <->  ( ( A 
C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B ) ) )
341, 33spcv 3034 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  (
( A  C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B )
)
3534exp3acom23 1381 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  A  ->  ( A 
C.  B  ->  A  e.  B ) ) )
3628, 35mpan9 456 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C.  B  ->  A  e.  B ) )
3725, 36orim12d 812 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( B  C.  A  \/  A  C.  B )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
3813, 37syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
3912, 38syl5bir 210 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A 
C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
403, 39mpand 657 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
41 3orrot 942 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )
)
42 3orass 939 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
43 df-or 360 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
4442, 43bitri 241 . . 3  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4541, 44bitri 241 . 2  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4640, 45sylibr 204 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    C. wpss 3313   Tr wtr 4294
This theorem is referenced by:  dfon2lem6  25407  dfon2  25411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-uni 4008  df-iun 4087  df-tr 4295  df-suc 4579
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