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Theorem dfon2lem9 24218
Description: Lemma for dfon2 24219. A class of new ordinals is well-founded by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables  z  w  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. x  e.  z  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) ) )
2 dfon2lem8 24217 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  /\  |^| z  e.  z )
)
32simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  |^| z  e.  z
)
4 intss1 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  z  ->  |^| z  C_  t )
52simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )
6 intex 4183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
7 dfon2lem3 24212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  e.  _V  ->  ( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  ->  ( Tr  |^| z  /\  A. x  e. 
|^| z  -.  x  e.  x ) ) )
87imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( Tr  |^| z  /\  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x ) )
98simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x )
10 untelirr 24069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x  ->  -.  |^| z  e.  |^| z )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  -.  |^| z  e.  |^| z )
12 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( |^| z  =  t  ->  (
|^| z  e.  |^| z 
<->  t  e.  |^| z
) )
1312notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| z  =  t  ->  ( -.  |^| z  e.  |^| z 
<->  -.  t  e.  |^| z ) )
1411, 13syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) )
1514a1dd 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  (
|^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
168simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  Tr  |^| z
)
17 trss 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr 
|^| z  ->  (
t  e.  |^| z  ->  t  C_  |^| z ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e.  |^| z  ->  t  C_ 
|^| z ) )
19 eqss 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  =  t  <->  ( |^| z  C_  t  /\  t  C_ 
|^| z ) )
2019simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t 
C_  |^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) )
2118, 20syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e.  |^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) ) )
2221com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  (
t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t ) ) )
23 con3 126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t )  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) )
2422, 23syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
2524com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( -.  |^| z  =  t  -> 
( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
2615, 25pm2.61d 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
276, 26sylanb 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
285, 27syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
294, 28syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( t  e.  z  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
3029ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z
)
31 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( t  e.  w  <->  t  e.  |^| z ) )
3231notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( -.  t  e.  w  <->  -.  t  e.  |^| z ) )
3332ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( A. t  e.  z  -.  t  e.  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z ) )
3433rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( (
|^| z  e.  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e. 
|^| z )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
353, 30, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
3635expcom 424 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
371, 36syl6com 31 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  C_  A  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) ) )
3837imp3a 420 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
3938alrimiv 1621 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
40 df-fr 4368 . . 3  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
) )
41 epel 4324 . . . . . . . 8  |-  ( t  _E  w  <->  t  e.  w )
4241notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  t  _E  w  <->  -.  t  e.  w )
4342ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4443rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4544imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
)  <->  ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
4645albii 1556 . . 3  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w )  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4740, 46bitri 240 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4839, 47sylibr 203 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   |^|cint 3878   class class class wbr 4039   Tr wtr 4129    _E cep 4319    Fr wfr 4365
This theorem is referenced by:  dfon2  24219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-fr 4368  df-suc 4414
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