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Theorem dfon3 25768
Description: A quantifier-free definition of  On. (Contributed by Scott Fenton, 5-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfon3  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )

Proof of Theorem dfon3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2 25450 . 2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
2 abeq1 2548 . . 3  |-  ( { x  |  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  A. x
( A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  x )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) ) )
3 vex 2965 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43elrn 5139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  E. y  y (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) x )
5 brin 4284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y SSet
x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x ) )
63brsset 25765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y
SSet x  <->  y  C_  x
)
7 brxp 4938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  ( y  e. 
Trans  /\  x  e.  _V ) )
83, 7mpbiran2 887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  y  e.  Trans )
9 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
109eltrans 25767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Trans 
<->  Tr  y )
118, 10bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  Tr  y )
126, 11anbi12i 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y SSet x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x )  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y
) )
135, 12bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y ) )
14 ioran 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  =  x  \/  y  e.  x
)  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) )
15 brun 4283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  _I  x  \/  y  _E  x ) )
163ideq 5054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _I  x  <->  y  =  x )
17 epel 4526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1816, 17orbi12i 509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  _I  x  \/  y  _E  x )  <-> 
( y  =  x  \/  y  e.  x
) )
1915, 18bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  =  x  \/  y  e.  x ) )
2014, 19xchnxbir 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) )
2113, 20anbi12i 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
22 brdif 4285 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( y ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x ) )
23 dfpss2 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x ) )
2423anbi1i 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  -.  y  =  x
)  /\  Tr  y
) )
25 an32 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x )  /\  Tr  y
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2624, 25bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2726anbi1i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x
) )
28 anass 632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x )  <->  ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) ) )
2927, 28bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
3021, 22, 293bitr4i 270 . . . . . . . 8  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x ) )
3130exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  E. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )
)
32 exanali 1596 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )  <->  -. 
A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3331, 32bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  -.  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
344, 33bitri 242 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  -.  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3534con2bii 324 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
36 eldif 3316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <-> 
( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
373, 36mpbiran 886 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
3835, 37bitr4i 245 . . 3  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  x  e.  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
392, 38mpgbir 1560 . 2  |-  { x  |  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
401, 39eqtri 2462 1  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    u. cun 3304    i^i cin 3305    C_ wss 3306    C. wpss 3307   class class class wbr 4237   Tr wtr 4327    _E cep 4521    _I cid 4522   Oncon0 4610    X. cxp 4905   ran crn 4908   SSetcsset 25707   Transctrans 25708
This theorem is referenced by:  dfon4  25769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-suc 4616  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-fo 5489  df-fv 5491  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-txp 25729  df-sset 25731  df-trans 25732
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