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Theorem dford3lem1 26267
Description: Lemma for dford3 26269. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Distinct variable group:    y, b, N

Proof of Theorem dford3lem1
StepHypRef Expression
1 treq 4156 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( Tr  y  <->  Tr  b )
)
21cbvralv 2798 . . . 4  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y 
<-> 
A. b  e.  N  Tr  b )
32biimpi 186 . . 3  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. b  e.  N  Tr  b )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  Tr  b
)
5 trss 4159 . . . . . 6  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  b  C_  N ) )
6 ssralv 3271 . . . . . 6  |-  ( b 
C_  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) )
75, 6syl6 29 . . . . 5  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
87com23 72 . . . 4  |-  ( Tr  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  ( b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) ) )
98imp 418 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  (
b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
109ralrimiv 2659 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y
)
11 r19.26 2709 . 2  |-  ( A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y
)  <->  ( A. b  e.  N  Tr  b  /\  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y ) )
124, 10, 11sylanbrc 645 1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   Tr wtr 4150
This theorem is referenced by:  dford3lem2  26268  dford3  26269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-rex 2583  df-v 2824  df-in 3193  df-ss 3200  df-uni 3865  df-tr 4151
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