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Theorem dford3lem2 27120
Description: Lemma for dford3 27121. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dford3lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suctr 4475 . . . 4  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
2 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32sucid 4471 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
42sucex 4602 . . . . 5  |-  suc  x  e.  _V
5 treq 4119 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( Tr  c  <->  Tr  suc  x
) )
6 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( x  e.  c  <-> 
x  e.  suc  x
) )
75, 6anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  <->  ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x ) ) )
84, 7spcev 2875 . . . 4  |-  ( ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x )  ->  E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c ) )
91, 3, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( Tr  x  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
109adantr 451 . 2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
11 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Tr  a )
12 dford3lem1 27119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
13 ralim 2614 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  ( A. b  e.  a 
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1412, 13syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1514imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On )
16 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  On  <->  A. b  e.  a  b  e.  On )
1715, 16sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  C_  On )
18 ordon 4574 . . . . . . 7  |-  Ord  On
1918a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  On )
20 trssord 4409 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  a  /\  a  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  a )
2111, 17, 19, 20syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  a )
22 vex 2791 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
2322elon 4401 . . . . 5  |-  ( a  e.  On  <->  Ord  a )
2421, 23sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  e.  On )
2524ex 423 . . 3  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  a  e.  On ) )
26 treq 4119 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( Tr  a  <->  Tr  b )
)
27 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
29 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  On  <->  b  e.  On ) )
3028, 29imbi12d 311 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On ) ) )
31 treq 4119 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( Tr  a  <->  Tr  x )
)
32 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  x  Tr  y ) )
3331, 32anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y ) ) )
34 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  e.  On  <->  x  e.  On ) )
3533, 34imbi12d 311 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On ) ) )
3625, 30, 35setindtrs 27118 . 2  |-  ( E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  ->  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y
)  ->  x  e.  On ) )
3710, 36mpcom 32 1  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394
This theorem is referenced by:  dford3  27121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398
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