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Theorem dford3lem2 27112
Description: Lemma for dford3 27113. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dford3lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suctr 4668 . . . 4  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
2 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32sucid 4663 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
42sucex 4794 . . . . 5  |-  suc  x  e.  _V
5 treq 4311 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( Tr  c  <->  Tr  suc  x
) )
6 eleq2 2499 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( x  e.  c  <-> 
x  e.  suc  x
) )
75, 6anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  <->  ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x ) ) )
84, 7spcev 3045 . . . 4  |-  ( ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x )  ->  E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c ) )
91, 3, 8sylancl 645 . . 3  |-  ( Tr  x  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
109adantr 453 . 2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
11 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Tr  a )
12 dford3lem1 27111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
13 ralim 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  ( A. b  e.  a 
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1412, 13syl5 31 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1514imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On )
16 dfss3 3340 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  On  <->  A. b  e.  a  b  e.  On )
1715, 16sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  C_  On )
18 ordon 4766 . . . . . . 7  |-  Ord  On
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  On )
20 trssord 4601 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  a  /\  a  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  a )
2111, 17, 19, 20syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  a )
22 vex 2961 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
2322elon 4593 . . . . 5  |-  ( a  e.  On  <->  Ord  a )
2421, 23sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  e.  On )
2524ex 425 . . 3  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  a  e.  On ) )
26 treq 4311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( Tr  a  <->  Tr  b )
)
27 raleq 2906 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
2826, 27anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
29 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  On  <->  b  e.  On ) )
3028, 29imbi12d 313 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On ) ) )
31 treq 4311 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( Tr  a  <->  Tr  x )
)
32 raleq 2906 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  x  Tr  y ) )
3331, 32anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y ) ) )
34 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  e.  On  <->  x  e.  On ) )
3533, 34imbi12d 313 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On ) ) )
3625, 30, 35setindtrs 27110 . 2  |-  ( E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  ->  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y
)  ->  x  e.  On ) )
3710, 36mpcom 35 1  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   Tr wtr 4305   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586
This theorem is referenced by:  dford3  27113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-reg 7563
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590
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