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Theorem dford4 27122
Description: dford3 27121 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, N

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 27121 . 2  |-  ( Ord 
N  <->  ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a ) )
2 dftr2 4115 . . . . 5  |-  ( Tr  N  <->  A. b A. a
( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
3 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )
4319.3 1781 . . . . . . . 8  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
5 ancom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  a  e.  N )
)
65imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
74, 6bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
872albii 1554 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
9 alcom 1711 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N
)  ->  b  e.  N ) )
108, 9bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
112, 10bitr4i 243 . . . 4  |-  ( Tr  N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
12 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a ) )
13 dftr2 4115 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  a  <->  A. c A. b
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )
1413imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
15 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  a  e.  N
16 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  N
1715, 1619.21-2 1792 . . . . . . . 8  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
1814, 17bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. c A. b ( a  e.  N  ->  ( (
c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
19 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( a  e.  N  ->  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
20 ancom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  c  e.  b )
)
2120anbi2i 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
22 anass 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
2321, 22bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b
) )
2423imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
2519, 24bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
26 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
2725, 26bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
28272albii 1554 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
29 alcom 1711 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3018, 28, 293bitri 262 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3130albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a
)  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3212, 31bitri 240 . . . 4  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3311, 32anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
34 19.26 1580 . . 3  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3533, 34bitr4i 243 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  A. a
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
36 19.26-2 1581 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
37 pm4.76 836 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
38372albii 1554 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3936, 38bitr3i 242 . . 3  |-  ( ( A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
4039albii 1553 . 2  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
411, 35, 403bitri 262 1  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   A.wral 2543   Tr wtr 4113   Ord word 4391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398
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