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Theorem dford4 27100
Description: dford3 27099 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, N

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 27099 . 2  |-  ( Ord 
N  <->  ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a ) )
2 dftr2 4304 . . . . 5  |-  ( Tr  N  <->  A. b A. a
( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
3 19.3v 1677 . . . . . . . 8  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
4 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  a  e.  N )
)
54imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
63, 5bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
762albii 1576 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
8 alcom 1752 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N
)  ->  b  e.  N ) )
97, 8bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
102, 9bitr4i 244 . . . 4  |-  ( Tr  N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
11 df-ral 2710 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a ) )
12 dftr2 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  a  <->  A. c A. b
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )
1312imbi2i 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
14 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  a  e.  N
15 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  N
1614, 1519.21-2 1887 . . . . . . . 8  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
1713, 16bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. c A. b ( a  e.  N  ->  ( (
c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
18 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( a  e.  N  ->  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
19 ancom 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  c  e.  b )
)
2019anbi2i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
21 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
2220, 21bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b
) )
2322imbi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
2418, 23bitr3i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
25 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
2624, 25bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
27262albii 1576 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
28 alcom 1752 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
2917, 27, 283bitri 263 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3029albii 1575 . . . . 5  |-  ( A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a
)  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3111, 30bitri 241 . . . 4  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3210, 31anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
33 19.26 1603 . . 3  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3432, 33bitr4i 244 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  A. a
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
35 19.26-2 1604 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
36 pm4.76 837 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
37362albii 1576 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3835, 37bitr3i 243 . . 3  |-  ( ( A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
3938albii 1575 . 2  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
401, 34, 393bitri 263 1  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725   A.wral 2705   Tr wtr 4302   Ord word 4580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587
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