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Theorem dfps2 25289
Description: Alternate definition of a poset. Bourbaki E.III.2 prop. 1. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
dfps2  |-  PosetRel  =  {
r  |  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r )  =  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) ) }

Proof of Theorem dfps2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ps 14306 . 2  |-  PosetRel  =  {
r  |  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) ) }
2 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  Rel  r )
3 eqimss2 3231 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (  _I  |`  U. U. r )  C_  (
r  i^i  `' r
) )
4 ssin 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. r )  C_  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  `' r )  <->  (  _I  |` 
U. U. r )  C_  ( r  i^i  `' r ) )
5 idref 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r  <->  A. x  e.  U. U. r x r x )
6 domrngref 25060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rel  r  /\  A. x  e.  U. U. r
x r x )  ->  dom  r  =  ran  r )
7 domfldref 25061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rel  r  /\  A. x  e.  U. U. r
x r x )  ->  dom  r  =  U. U. r )
8 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  r  =  dom  r  /\  dom  r  = 
U. U. r )  ->  ran  r  =  U. U. r )
9 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( U. U. r  =  ran  r  ->  (  _I  |`  U. U. r )  =  (  _I  |`  ran  r ) )
109eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ran  r  =  U. U. r  ->  (  _I  |`  U. U. r )  =  (  _I  |`  ran  r ) )
1110eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ran  r  =  U. U. r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  <->  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  ran  r
) ) )
12 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  `' r ) 
C_  r
13 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ran  r  C_ 
ran  r
14 cores 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  r  C_  ran  r  -> 
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (  _I  |`  ran  r )  o.  r )  =  (  _I  o.  r
)
16 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  ran  r )  -> 
( ( r  i^i  `' r )  C_  r 
<->  (  _I  |`  ran  r
)  C_  r )
)
17 coss1 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (  _I  |`  ran  r ) 
C_  r  ->  (
(  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r ) )
18 coi2 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Rel  r  ->  (  _I  o.  r )  =  r )
19 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  /\  (  _I  o.  r )  =  r )  ->  (
(  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  r )
20 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  r  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  <->  r  C_  ( r  o.  r
) ) )
21 eqss 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( r  o.  r )  =  r  <->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  r  C_  ( r  o.  r
) ) )
2221simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( r 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) )
2320, 22syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  r  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) )
2419, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  /\  (  _I  o.  r )  =  r )  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  (
(  _I  o.  r
)  =  r  -> 
( ( (  _I  |`  ran  r )  o.  r )  C_  (
r  o.  r )  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
2625com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (  _I  o.  r )  =  r  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
2718, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Rel  r  ->  ( (
(  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
2827com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r ) 
C_  ( r  o.  r )  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
2917, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _I  |`  ran  r ) 
C_  r  ->  (
( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
3016, 29syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  ran  r )  -> 
( ( r  i^i  `' r )  C_  r  ->  ( ( (  _I  |`  ran  r )  o.  r )  =  (  _I  o.  r
)  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) ) )
3130com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  i^i  `' r )  C_  r  ->  ( ( (  _I  |`  ran  r
)  o.  r )  =  (  _I  o.  r )  ->  (
( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  ran  r )  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( r  o.  r
)  =  r ) ) ) ) )
3212, 15, 31mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  ran  r )  -> 
( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) )
3311, 32syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  r  =  U. U. r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
3433com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  r  =  U. U. r  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
358, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  r  =  dom  r  /\  dom  r  = 
U. U. r )  -> 
( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
)  ->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  r  =  dom  r  ->  ( dom  r  = 
U. U. r  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) ) )
3736eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  r  =  ran  r  ->  ( dom  r  = 
U. U. r  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) ) )
386, 7, 37sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  r  /\  A. x  e.  U. U. r
x r x )  ->  ( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel  r  ->  ( A. x  e.  U. U. r
x r x  -> 
( Rel  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
)  ->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) ) )
4039pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  r  ->  ( A. x  e.  U. U. r
x r x  -> 
( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
4140com4l 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  U. U. r
x r x  -> 
( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( Rel  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
425, 41sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r  ->  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
)  ->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  ->  ( Rel  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. r )  C_  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  `' r )  ->  (
( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
)  ->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  ->  ( Rel  r  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) ) )
444, 43sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. r
)  C_  ( r  i^i  `' r )  -> 
( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  (
( r  o.  r
)  C_  r  ->  ( Rel  r  ->  (
r  o.  r )  =  r ) ) ) )
453, 44mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r )  ->  ( ( r  o.  r )  C_  r  ->  ( Rel  r  ->  ( r  o.  r
)  =  r ) ) )
4645com13 74 . . . . . 6  |-  ( Rel  r  ->  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
)  ->  ( r  o.  r )  =  r ) ) )
47463imp 1145 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( r  o.  r )  =  r )
48 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) )
492, 47, 483jca 1132 . . . 4  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r )  =  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) ) )
50 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r )  =  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  Rel  r )
51 eqimss 3230 . . . . . 6  |-  ( ( r  o.  r )  =  r  ->  (
r  o.  r ) 
C_  r )
52513ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r )  =  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( r  o.  r )  C_  r
)
53 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r )  =  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) )
5450, 52, 533jca 1132 . . . 4  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r )  =  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  ->  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
) ) )
5549, 54impbii 180 . . 3  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) )  <->  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r
)  =  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
) ) )
5655abbii 2395 . 2  |-  { r  |  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r
) ) }  =  { r  |  ( Rel  r  /\  (
r  o.  r )  =  r  /\  (
r  i^i  `' r
)  =  (  _I  |`  U. U. r ) ) }
571, 56eqtri 2303 1  |-  PosetRel  =  {
r  |  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r )  =  r  /\  ( r  i^i  `' r )  =  (  _I  |`  U. U. r ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623   {cab 2269   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   PosetRelcps 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ps 14306
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