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Theorem dfrdg3 25416
Description: Generalization of dfrdg2 25415 to remove sethood requirement. (Contributed by Scott Fenton, 27-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg3  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Distinct variable groups:    f, F, x, y    f, I, x, y

Proof of Theorem dfrdg3
StepHypRef Expression
1 dfrdg2 25415 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  I )
32ifeq1d 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
43eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
54ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
65anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
76rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
87abbidv 2549 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
98unieqd 4018 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
101, 9eqtr4d 2470 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
11 0ex 4331 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
12 dfrdg2 25415 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
14 rdgprc 25414 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  rec ( F ,  (/) ) )
15 iffalse 3738 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  (/) )
1615ifeq1d 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
1716eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1817ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2019rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2120abbidv 2549 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2221unieqd 4018 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2313, 14, 223eqtr4a 2493 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2410, 23pm2.61i 158 1  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ifcif 3731   U.cuni 4007   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   "cima 4873    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   reccrdg 6659
This theorem is referenced by:  dfrdg4  25787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
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