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Theorem dfrdg3 25429
Description: Generalization of dfrdg2 25428 to remove sethood requirement. (Contributed by Scott Fenton, 27-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg3  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Distinct variable groups:    f, F, x, y    f, I, x, y

Proof of Theorem dfrdg3
StepHypRef Expression
1 dfrdg2 25428 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2 iftrue 3747 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  I )
32ifeq1d 3755 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
43eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
54ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
65anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
76rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
87abbidv 2552 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
98unieqd 4028 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
101, 9eqtr4d 2473 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
11 0ex 4342 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
12 dfrdg2 25428 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
14 rdgprc 25427 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  rec ( F ,  (/) ) )
15 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  (/) )
1615ifeq1d 3755 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
1716eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1817ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1918anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2019rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2120abbidv 2552 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2221unieqd 4028 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2313, 14, 223eqtr4a 2496 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2410, 23pm2.61i 159 1  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   ifcif 3741   U.cuni 4017   Oncon0 4584   Lim wlim 4585   "cima 4884    Fn wfn 5452   ` cfv 5457   reccrdg 6670
This theorem is referenced by:  dfrdg4  25800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
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