MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrhm2 Structured version   Unicode version

Theorem dfrhm2 15852
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Distinct variable group:    s, r

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables  v  w  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 15850 . 2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
2 rnggrp 15700 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  r  e. 
Grp )
3 rnggrp 15700 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  s  e. 
Grp )
4 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  r )
5 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  s )
6 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  r )
7 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  s )
84, 5, 6, 7isghm3 15038 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  Grp  /\  s  e.  Grp )  ->  ( f  e.  ( r  GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( r 
GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
109abbi2dv 2557 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) } )
11 df-rab 2720 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
12 fvex 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  e.  _V
13 fvex 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  e.  _V
1412, 13elmap 7071 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  <-> 
f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s ) )
1514anbi1i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) )
1615abbii 2554 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
1711, 16eqtri 2462 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) }
1810, 17syl6eqr 2492 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) } )
19 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  r )
2019rngmgp 15701 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  (mulGrp `  r )  e.  Mnd )
21 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  s )  =  (mulGrp `  s )
2221rngmgp 15701 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )
2319, 4mgpbas 15685 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  (mulGrp `  r
) )
2421, 5mgpbas 15685 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  (mulGrp `  s
) )
25 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  r )  =  ( .r `  r
)
2619, 25mgpplusg 15683 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  r )  =  ( +g  `  (mulGrp `  r ) )
27 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  s )  =  ( .r `  s
)
2821, 27mgpplusg 15683 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  s )  =  ( +g  `  (mulGrp `  s ) )
29 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 1r `  r
)
3019, 29rngidval 15697 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 0g `  (mulGrp `  r ) )
31 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 1r `  s
)
3221, 31rngidval 15697 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 0g `  (mulGrp `  s ) )
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 14771 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) )  <->  ( (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  /\  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3433baib 873 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  ->  ( f  e.  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
)  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3520, 22, 34syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3635abbi2dv 2557 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
37 df-rab 2720 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
3814anbi1i 678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
39 3anass 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
4038, 39bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) )
4140abbii 2554 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) }
4237, 41eqtri 2462 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }
4336, 42syl6eqr 2492 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
4418, 43ineq12d 3529 . . . 4  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) ) )  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } ) )
45 ancom 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
46 r19.26-2 2845 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )
4746anbi1i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s ) )  <->  ( ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
48 anass 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
4945, 47, 483bitri 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  ->  ( ( ( f `  ( 1r
`  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) ) )
5150rabbiia 2952 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
52 oveq12 6119 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  ( Base `  s )  /\  v  =  ( Base `  r
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
5352ancoms 441 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
54 raleq 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5554raleqbi1dv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5655adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v 
( ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  s
) ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) )
5756anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) )  <-> 
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) ) )
5853, 57rabeqbidv 2957 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
5913, 12, 58csbie2 3295 . . . . 5  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }
60 inrab 3598 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  i^i  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
6151, 59, 603eqtr4i 2472 . . . 4  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } )
6244, 61syl6reqr 2493 . . 3  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
6362mpt2eq3ia 6168 . 2  |-  ( r  e.  Ring ,  s  e. 
Ring  |->  [_ ( Base `  r
)  /  v ]_ [_ ( Base `  s
)  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )  =  ( r  e. 
Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
641, 63eqtri 2462 1  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   A.wral 2711   {crab 2715   [_csb 3267    i^i cin 3305   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112    ^m cmap 7047   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   .rcmulr 13561   Mndcmnd 14715   Grpcgrp 14716   MndHom cmhm 14767    GrpHom cghm 15034  mulGrpcmgp 15679   Ringcrg 15691   1rcur 15693   RingHom crh 15848
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  15853  rhmrcl2  15854  isrhm  15855  zrhval  16820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mhm 14769  df-ghm 15035  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-rnghom 15850
  Copyright terms: Public domain W3C validator