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Theorem dfrhm2 15708
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Distinct variable group:    s, r

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables  v  w  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 15706 . 2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
2 rnggrp 15556 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  r  e. 
Grp )
3 rnggrp 15556 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  s  e. 
Grp )
4 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  r )
5 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  s )
6 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  r )
7 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  s )
84, 5, 6, 7isghm3 14894 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  Grp  /\  s  e.  Grp )  ->  ( f  e.  ( r  GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( r 
GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
109abbi2dv 2481 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) } )
11 df-rab 2637 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
12 fvex 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  e.  _V
13 fvex 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  e.  _V
1412, 13elmap 6939 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  <-> 
f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s ) )
1514anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) )
1615abbii 2478 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
1711, 16eqtri 2386 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) }
1810, 17syl6eqr 2416 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) } )
19 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  r )
2019rngmgp 15557 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  (mulGrp `  r )  e.  Mnd )
21 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  s )  =  (mulGrp `  s )
2221rngmgp 15557 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )
2319, 4mgpbas 15541 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  (mulGrp `  r
) )
2421, 5mgpbas 15541 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  (mulGrp `  s
) )
25 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  r )  =  ( .r `  r
)
2619, 25mgpplusg 15539 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  r )  =  ( +g  `  (mulGrp `  r ) )
27 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  s )  =  ( .r `  s
)
2821, 27mgpplusg 15539 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  s )  =  ( +g  `  (mulGrp `  s ) )
29 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 1r `  r
)
3019, 29rngidval 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 0g `  (mulGrp `  r ) )
31 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 1r `  s
)
3221, 31rngidval 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 0g `  (mulGrp `  s ) )
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 14627 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) )  <->  ( (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  /\  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3433baib 871 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  ->  ( f  e.  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
)  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3520, 22, 34syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3635abbi2dv 2481 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
37 df-rab 2637 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
3814anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
39 3anass 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
4038, 39bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) )
4140abbii 2478 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) }
4237, 41eqtri 2386 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }
4336, 42syl6eqr 2416 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
4418, 43ineq12d 3459 . . . 4  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) ) )  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } ) )
45 ancom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
46 r19.26-2 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )
4746anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s ) )  <->  ( ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
48 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
4945, 47, 483bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
5049a1i 10 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  ->  ( ( ( f `  ( 1r
`  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) ) )
5150rabbiia 2863 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
52 oveq12 5990 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  ( Base `  s )  /\  v  =  ( Base `  r
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
5352ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
54 raleq 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5554raleqbi1dv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v 
( ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  s
) ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) )
5756anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) )  <-> 
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) ) )
5853, 57rabeqbidv 2868 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
5913, 12, 58csbie2 3212 . . . . 5  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }
60 inrab 3528 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  i^i  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
6151, 59, 603eqtr4i 2396 . . . 4  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } )
6244, 61syl6reqr 2417 . . 3  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
6362mpt2eq3ia 6039 . 2  |-  ( r  e.  Ring ,  s  e. 
Ring  |->  [_ ( Base `  r
)  /  v ]_ [_ ( Base `  s
)  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )  =  ( r  e. 
Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
641, 63eqtri 2386 1  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352   A.wral 2628   {crab 2632   [_csb 3167    i^i cin 3237   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983    ^m cmap 6915   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   .rcmulr 13417   Mndcmnd 14571   Grpcgrp 14572   MndHom cmhm 14623    GrpHom cghm 14890  mulGrpcmgp 15535   Ringcrg 15547   1rcur 15549   RingHom crh 15704
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  15709  rhmrcl2  15710  isrhm  15711  zrhval  16679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mhm 14625  df-ghm 14891  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-rnghom 15706
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