Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrhm2 Structured version   Unicode version

Theorem dfrhm2 15852
 Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 15850 . 2 RingHom
2 rnggrp 15700 . . . . . . . 8
3 rnggrp 15700 . . . . . . . 8
4 eqid 2442 . . . . . . . . 9
5 eqid 2442 . . . . . . . . 9
6 eqid 2442 . . . . . . . . 9
7 eqid 2442 . . . . . . . . 9
84, 5, 6, 7isghm3 15038 . . . . . . . 8
92, 3, 8syl2an 465 . . . . . . 7
109abbi2dv 2557 . . . . . 6
11 df-rab 2720 . . . . . . 7
12 fvex 5771 . . . . . . . . . 10
13 fvex 5771 . . . . . . . . . 10
1412, 13elmap 7071 . . . . . . . . 9
1514anbi1i 678 . . . . . . . 8
1615abbii 2554 . . . . . . 7
1711, 16eqtri 2462 . . . . . 6
1810, 17syl6eqr 2492 . . . . 5
19 eqid 2442 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
2019rngmgp 15701 . . . . . . . 8 mulGrp
21 eqid 2442 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
2221rngmgp 15701 . . . . . . . 8 mulGrp
2319, 4mgpbas 15685 . . . . . . . . . 10 mulGrp
2421, 5mgpbas 15685 . . . . . . . . . 10 mulGrp
25 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11
2619, 25mgpplusg 15683 . . . . . . . . . 10 mulGrp
27 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11
2821, 27mgpplusg 15683 . . . . . . . . . 10 mulGrp
29 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11
3019, 29rngidval 15697 . . . . . . . . . 10 mulGrp
31 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11
3221, 31rngidval 15697 . . . . . . . . . 10 mulGrp
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 14771 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp mulGrp
3433baib 873 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
3520, 22, 34syl2an 465 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrp
3635abbi2dv 2557 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp
37 df-rab 2720 . . . . . . 7
3814anbi1i 678 . . . . . . . . 9
39 3anass 941 . . . . . . . . 9
4038, 39bitr4i 245 . . . . . . . 8
4140abbii 2554 . . . . . . 7
4237, 41eqtri 2462 . . . . . 6
4336, 42syl6eqr 2492 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp
4418, 43ineq12d 3529 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrp
45 ancom 439 . . . . . . . 8
46 r19.26-2 2845 . . . . . . . . 9
4746anbi1i 678 . . . . . . . 8
48 anass 632 . . . . . . . 8
4945, 47, 483bitri 264 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
5150rabbiia 2952 . . . . 5
52 oveq12 6119 . . . . . . . 8
5352ancoms 441 . . . . . . 7
54 raleq 2910 . . . . . . . . . 10
5554raleqbi1dv 2918 . . . . . . . . 9
5655adantr 453 . . . . . . . 8
5756anbi2d 686 . . . . . . 7
5853, 57rabeqbidv 2957 . . . . . 6
5913, 12, 58csbie2 3295 . . . . 5
60 inrab 3598 . . . . 5
6151, 59, 603eqtr4i 2472 . . . 4
6244, 61syl6reqr 2493 . . 3 mulGrp MndHom mulGrp
6362mpt2eq3ia 6168 . 2 mulGrp MndHom mulGrp
641, 63eqtri 2462 1 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  cab 2428  wral 2711  crab 2715  csb 3267   cin 3305  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmpt2 6112   cmap 7047  cbs 13500   cplusg 13560  cmulr 13561  cmnd 14715  cgrp 14716   MndHom cmhm 14767   cghm 15034  mulGrpcmgp 15679  crg 15691  cur 15693   RingHom crh 15848 This theorem is referenced by:  rhmrcl1  15853  rhmrcl2  15854  isrhm  15855  zrhval  16820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mhm 14769  df-ghm 15035  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-rnghom 15850
 Copyright terms: Public domain W3C validator