Theorem dfrnf 3348

Description: Definition of range, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypotheses

Ref	Expression
dfrnf.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
dfrnf.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
dfrnf	|- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,A

Proof of Theorem dfrnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn3 3304	. 2 |- ran A = {w | E.v<.v, w>. e. A}
2		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. <.v, w>. -> A.x z e. <.v, w>.)
3		dfrnf.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.x z e. A)
4	2, 3	hbel 1566	. . . 4 |- (<.v, w>. e. A -> A.x<.v, w>. e. A)
5		ax-17 971	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.v<.x, w>. e. A)
6		opeq1 2487	. . . . 5 |- (v = x -> <.v, w>. = <.x, w>.)
7	6	eleq1d 1540	. . . 4 |- (v = x -> (<.v, w>. e. A <-> <.x, w>. e. A))
8	4, 5, 7	cbvex 1166	. . 3 |- (E.v<.v, w>. e. A <-> E.x<.x, w>. e. A)
9	8	abbii 1575	. 2 |- {w | E.v<.v, w>. e. A} = {w | E.x<.x, w>. e. A}
10		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
11		dfrnf.2	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
12	10, 11	hbel 1566	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.y<.x, w>. e. A)
13	12	hbex 1006	. . 3 |- (E.x<.x, w>. e. A -> A.yE.x<.x, w>. e. A)
14		ax-17 971	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. A -> A.wE.x<.x, y>. e. A)
15		opeq2 2488	. . . . 5 |- (w = y -> <.x, w>. = <.x, y>.)
16	15	eleq1d 1540	. . . 4 |- (w = y -> (<.x, w>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
17	16	exbidv 1279	. . 3 |- (w = y -> (E.x<.x, w>. e. A <-> E.x<.x, y>. e. A))
18	13, 14, 17	cbvab 1908	. 2 |- {w | E.x<.x, w>. e. A} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
19	1, 9, 18	3eqtr 1499	1 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  rnopab 3353

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain