Mathbox for Drahflow < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrtrclrec2 Structured version   Unicode version

Theorem dfrtrclrec2 25143
 Description: If two elements are connected by a reflexive, transitive closure, then they are connected via instances the relation, for some . (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1
rtrclreclem.2
Assertion
Ref Expression
dfrtrclrec2 rec
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dfrtrclrec2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rtrclreclem.2 . . . 4
2 nn0ex 10227 . . . . 5
3 ovex 6106 . . . . 5
42, 3iunex 5991 . . . 4
5 oveq1 6088 . . . . . 6
65iuneq2d 4118 . . . . 5
7 eqid 2436 . . . . 5
86, 7fvmptg 5804 . . . 4
91, 4, 8sylancl 644 . . 3
10 breq 4214 . . . 4
11 eliun 4097 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
13 df-br 4213 . . . . 5
14 df-br 4213 . . . . . 6
1514rexbii 2730 . . . . 5
1612, 13, 153bitr4g 280 . . . 4
1710, 16sylan9bb 681 . . 3
189, 17mpancom 651 . 2
19 df-rtrclrec 25142 . . 3 rec
20 fveq1 5727 . . . . . 6 rec rec
2120breqd 4223 . . . . 5 rec rec
2221bibi1d 311 . . . 4 rec rec
2322imbi2d 308 . . 3 rec rec
2419, 23ax-mp 8 . 2 rec
2518, 24mpbir 201 1 rec
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956  cop 3817  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   wrel 4883  cfv 5454  (class class class)co 6081  cn0 10221  crelexp 25127  reccrtrcl 25141 This theorem is referenced by:  rtrclreclem.trans  25146  rtrclind  25149 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-n0 10222  df-rtrclrec 25142
 Copyright terms: Public domain W3C validator