Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfso2 Unicode version

Theorem dfso2 23522
Description: Quantifier free definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfso2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )

Proof of Theorem dfso2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-so 4315 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2 opelxp 4719 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
3 brun 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( x (  _I  u.  `' R ) y  <->  ( x  _I  y  \/  x `' R y ) )
4 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
54ideq 4836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
6 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
76, 4brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 7orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  _I  y  \/  x `' R y )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
93, 8bitr2i 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x (  _I  u.  `' R ) y )
109orbi2i 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
11 3orass 937 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 brun 4069 . . . . . . . 8  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
1310, 11, 123bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y )
14 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )
1513, 14bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
162, 15imbi12i 316 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
17162albii 1554 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
18 relxp 4794 . . . . 5  |-  Rel  ( A  X.  A )
19 ssrel 4776 . . . . 5  |-  ( Rel  ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
21 r2al 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2217, 20, 213bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2322anbi2i 675 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A
)  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
241, 23bitr4i 243 1  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    _I cid 4304    Po wpo 4312    Or wor 4313    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   Rel wrel 4694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator