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Theorem dfso2 24182
Description: Quantifier free definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfso2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )

Proof of Theorem dfso2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-so 4331 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2 opelxp 4735 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
3 brun 4085 . . . . . . . . . 10  |-  ( x (  _I  u.  `' R ) y  <->  ( x  _I  y  \/  x `' R y ) )
4 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
54ideq 4852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
6 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
76, 4brcnv 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 7orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  _I  y  \/  x `' R y )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
93, 8bitr2i 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x (  _I  u.  `' R ) y )
109orbi2i 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
11 3orass 937 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 brun 4085 . . . . . . . 8  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
1310, 11, 123bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y )
14 df-br 4040 . . . . . . 7  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )
1513, 14bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
162, 15imbi12i 316 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
17162albii 1557 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
18 relxp 4810 . . . . 5  |-  Rel  ( A  X.  A )
19 ssrel 4792 . . . . 5  |-  ( Rel  ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
21 r2al 2593 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2217, 20, 213bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2322anbi2i 675 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A
)  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
241, 23bitr4i 243 1  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    u. cun 3163    C_ wss 3165   <.cop 3656   class class class wbr 4039    _I cid 4320    Po wpo 4328    Or wor 4329    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   Rel wrel 4710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713
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