Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfso3 Structured version   Unicode version

Theorem dfso3 25182
Description: Expansion of the definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 6-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfso3  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem dfso3
StepHypRef Expression
1 ne0i 3636 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.27zv 3729 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
43ralbiia 2739 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
54ralbii 2731 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
6 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
76ralbii 2731 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
872ralbii 2733 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
9 df-po 4506 . . . 4  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
109anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
11 df-so 4507 . . 3  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 r19.26-2 2841 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 270 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
145, 8, 133bitr4ri 271 1  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    Po wpo 4504    Or wor 4505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-v 2960  df-dif 3325  df-nul 3631  df-po 4506  df-so 4507
  Copyright terms: Public domain W3C validator