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Theorem dfso3 24074
Description: Expansion of the definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 6-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfso3  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem dfso3
StepHypRef Expression
1 ne0i 3461 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.27zv 3553 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
43ralbiia 2575 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
54ralbii 2567 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
6 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
76ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
872ralbii 2569 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
9 df-po 4314 . . . 4  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
109anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
11 df-so 4315 . . 3  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 r19.26-2 2676 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 268 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
145, 8, 133bitr4ri 269 1  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Po wpo 4312    Or wor 4313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-v 2790  df-dif 3155  df-nul 3456  df-po 4314  df-so 4315
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