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Theorem dfsup2 7195
Description: Quantifier free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )

Proof of Theorem dfsup2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7194 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab3 3444 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )
3 abeq1 2389 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) ) )
4 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5 eldif 3162 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
64, 5mpbiran 884 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
74elima 5017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
8 dfrex2 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
97, 8bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
104elima 5017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  E. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) ) y R x )
11 dfrex2 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) ) y R x  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
1210, 11bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
139, 12orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A 
\  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
14 elun 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
15 ianor 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <-> 
( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1613, 14, 153bitr4i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1716con2bii 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
18 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1918, 4brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2019notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
2120ralbii 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
22 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <->  ( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
23 eldif 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A  \ 
( `' R " B ) )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) ) )
2423imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x ) )
2518elima 5017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
26 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
2726, 18brcnv 4864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2827rexbii 2568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2925, 28bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  y R
z )
3029imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
31 con34b 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3230, 31bitr3i 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3332imbi2i 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
3422, 24, 333bitr4i 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
3534ralbii2 2571 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3621, 35anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
376, 17, 363bitr2ri 265 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) )
383, 37mpgbir 1537 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
3938ineq2i 3367 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
40 invdif 3410 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )  =  ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
4139, 40eqtri 2303 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
422, 41eqtri 2303 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
4342unieqi 3837 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
441, 43eqtri 2303 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   supcsup 7193
This theorem is referenced by:  nfsup  7202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-sup 7194
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