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Theorem dfsup2 7439
Description: Quantifier free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )

Proof of Theorem dfsup2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7438 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab3 3609 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )
3 abeq1 2541 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) ) )
4 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5 eldif 3322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
64, 5mpbiran 885 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
74elima 5200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
8 dfrex2 2710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
97, 8bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
104elima 5200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  E. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) ) y R x )
11 dfrex2 2710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) ) y R x  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
1210, 11bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
139, 12orbi12i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A 
\  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
14 elun 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
15 ianor 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <-> 
( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1613, 14, 153bitr4i 269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1716con2bii 323 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
18 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1918, 4brcnv 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2019notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
2120ralbii 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
22 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <->  ( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
23 eldif 3322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A  \ 
( `' R " B ) )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) ) )
2423imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x ) )
2518elima 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
26 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
2726, 18brcnv 5047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2827rexbii 2722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2925, 28bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  y R
z )
3029imbi2i 304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
31 con34b 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3230, 31bitr3i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3332imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
3422, 24, 333bitr4i 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
3534ralbii2 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3621, 35anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
376, 17, 363bitr2ri 266 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) )
383, 37mpgbir 1559 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
3938ineq2i 3531 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
40 invdif 3574 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )  =  ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
4139, 40eqtri 2455 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
422, 41eqtri 2455 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
4342unieqi 4017 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
441, 43eqtri 2455 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   "cima 4873   supcsup 7437
This theorem is referenced by:  nfsup  7448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-sup 7438
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