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Theorem dfsup2OLD 7212
Description: Quantifier-free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2OLD  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )

Proof of Theorem dfsup2OLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7210 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab2 3456 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )
3 incom 3374 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
4 abeq1 2402 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) ) )
5 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 eldif 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
75, 6mpbiran 884 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
8 elun 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
98notbii 287 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <->  -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
10 ioran 476 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
119, 10bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
125elima 5033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
13 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
1413, 5brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1514rexbii 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1612, 15bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1716notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  E. y  e.  B  x R y )
18 ralnex 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
1917, 18bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
205elima 5033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  y ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) ) x )
21 brdif 4087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  y
( ( `' R " B )  X.  _V ) x ) )
22 brxp 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  ( y  e.  ( `' R " B )  /\  x  e.  _V ) )
235, 22mpbiran2 885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  y  e.  ( `' R " B ) )
2413elima 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
25 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
2625, 13brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2726rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2823, 24, 273bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  E. z  e.  B  y R z )
2928notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  -.  E. z  e.  B  y R z )
3029anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y R x  /\  -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x )  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3121, 30bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3231rexbii 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3320, 32bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3433notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
35 rexanali 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3635con2bii 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3734, 36bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3819, 37anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \ 
( ( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
397, 11, 383bitrri 263 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) )
404, 39mpgbir 1540 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4140ineq2i 3380 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
42 invdif 3423 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )  =  ( A  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
4341, 42eqtri 2316 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
442, 3, 433eqtri 2320 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4544unieqi 3853 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
461, 45eqtri 2316 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708   supcsup 7209
This theorem is referenced by:  dfsup3OLD  7213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-sup 7210
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