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Theorem dfsup2OLD 7448
Description: Quantifier-free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2OLD  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )

Proof of Theorem dfsup2OLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7446 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab2 3616 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )
3 incom 3533 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
4 abeq1 2542 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) ) )
5 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 eldif 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
75, 6mpbiran 885 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
8 elun 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
98notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <->  -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
10 ioran 477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
119, 10bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
125elima 5208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
13 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
1413, 5brcnv 5055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1514rexbii 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1612, 15bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1716notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  E. y  e.  B  x R y )
18 ralnex 2715 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
1917, 18bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
205elima 5208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  y ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) ) x )
21 brdif 4260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  y
( ( `' R " B )  X.  _V ) x ) )
22 brxp 4909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  ( y  e.  ( `' R " B )  /\  x  e.  _V ) )
235, 22mpbiran2 886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  y  e.  ( `' R " B ) )
2413elima 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
25 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
2625, 13brcnv 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2726rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2823, 24, 273bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  E. z  e.  B  y R z )
2928notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  -.  E. z  e.  B  y R z )
3029anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y R x  /\  -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x )  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3121, 30bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3231rexbii 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3320, 32bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3433notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
35 rexanali 2751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3635con2bii 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3734, 36bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3819, 37anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \ 
( ( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
397, 11, 383bitrri 264 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) )
404, 39mpgbir 1559 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4140ineq2i 3539 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
42 invdif 3582 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )  =  ( A  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
4341, 42eqtri 2456 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
442, 3, 433eqtri 2460 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4544unieqi 4025 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
461, 45eqtri 2456 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   "cima 4881   supcsup 7445
This theorem is referenced by:  dfsup3OLD  7449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-sup 7446
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