MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftpos2 Unicode version

Theorem dftpos2 6267
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos2
StepHypRef Expression
1 dmtpos 6262 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
21reseq2d 4971 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  =  (tpos 
F  |`  `' dom  F
) )
3 reltpos 6255 . . 3  |-  Rel tpos  F
4 resdm 5009 . . 3  |-  ( Rel tpos  F  ->  (tpos  F  |`  dom tpos  F )  = tpos  F
)
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  = tpos  F
6 df-tpos 6250 . . . 4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
76reseq1i 4967 . . 3  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )
8 resco 5193 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )
9 ssun1 3351 . . . . 5  |-  `' dom  F 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
10 resmpt 5016 . . . . 5  |-  ( `' dom  F  C_  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } )
1211coeq2i 4860 . . 3  |-  ( F  o.  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )  =  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |-> 
U. `' { x } ) )
137, 8, 123eqtri 2320 . 2  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) )
142, 5, 133eqtr3g 2351 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710  tpos ctpos 6249
This theorem is referenced by:  tposf12  6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-tpos 6250
  Copyright terms: Public domain W3C validator