MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Unicode version

Theorem dftpos3 6252
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. Compare df-cnv 4697. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Distinct variable group:    x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5051 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  `' dom  F
2 dmtpos 6246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
32releqd 4773 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  <->  Rel  `' dom  F
) )
41, 3mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
5 reltpos 6239 . . . . . . . . 9  |-  Rel tpos  F
64, 5jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F ) )
7 relrelss 5196 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F )  <-> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )
86, 7sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
98sseld 3179 . . . . . 6  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
10 elvvv 4749 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
119, 10syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
1211pm4.71rd 616 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
) ) )
13 19.41vvv 1844 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <-> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F ) )
14 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F
) )
15 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e. tpos  F )
16 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
17 brtpos 6243 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z )
1915, 18bitr3i 242 . . . . . . . 8  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z )
2014, 19syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z ) )
2120pm5.32i 618 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
)  <->  ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
22213exbii 1571 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2313, 22bitr3i 242 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2412, 23syl6bb 252 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  E. x E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  <. y ,  x >. F z ) ) )
2524abbi2dv 2398 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { w  |  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  <. y ,  x >. F z ) } )
26 df-oprab 5862 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  <. y ,  x >. F z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) }
2725, 26syl6eqr 2333 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   Rel wrel 4694   {coprab 5859  tpos ctpos 6233
This theorem is referenced by:  tposoprab  6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-tpos 6234
  Copyright terms: Public domain W3C validator