MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Structured version   Unicode version

Theorem dftpos3 6497
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. Compare df-cnv 4886. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Distinct variable group:    x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5242 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  `' dom  F
2 dmtpos 6491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
32releqd 4961 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  <->  Rel  `' dom  F
) )
41, 3mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
5 reltpos 6484 . . . . . . . . 9  |-  Rel tpos  F
64, 5jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F ) )
7 relrelss 5393 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F )  <-> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )
86, 7sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
98sseld 3347 . . . . . 6  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
10 elvvv 4937 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
119, 10syl6ib 218 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
1211pm4.71rd 617 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
) ) )
13 19.41vvv 1926 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <-> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F ) )
14 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F
) )
15 df-br 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e. tpos  F )
16 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
17 brtpos 6488 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z )
1915, 18bitr3i 243 . . . . . . . 8  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z )
2014, 19syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z ) )
2120pm5.32i 619 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
)  <->  ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
22213exbii 1594 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2313, 22bitr3i 243 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2412, 23syl6bb 253 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  E. x E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  <. y ,  x >. F z ) ) )
2524abbi2dv 2551 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { w  |  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  <. y ,  x >. F z ) } )
26 df-oprab 6085 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  <. y ,  x >. F z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) }
2725, 26syl6eqr 2486 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   <.cop 3817   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   Rel wrel 4883   {coprab 6082  tpos ctpos 6478
This theorem is referenced by:  tposoprab  6515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-oprab 6085  df-tpos 6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator