Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftr6 Structured version   Unicode version

Theorem dftr6 25375
Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
dftr6.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dftr6  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)

Proof of Theorem dftr6
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr6.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
21elrn 5112 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A )
3 brdif 4262 . . . . . 6  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A ) )
4 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
54, 1brco 5045 . . . . . . . 8  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A ) )
6 epel 4499 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
71epelc 4498 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  A  <->  y  e.  A )
86, 7anbi12i 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A )
)
98exbii 1593 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
105, 9bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
111epelc 4498 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  A  <->  x  e.  A )
1211notbii 289 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  _E  A  <->  -.  x  e.  A )
1310, 12anbi12i 680 . . . . . 6  |-  ( ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
14 19.41v 1925 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
15 exanali 1596 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
1614, 15bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
173, 13, 163bitri 264 . . . . 5  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  -.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A ) )
1817exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A  <->  E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
19 exnal 1584 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
202, 18, 193bitri 264 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
2120con2bii 324 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
22 dftr2 4306 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
23 eldif 3332 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) ) )
241, 23mpbiran 886 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
2521, 22, 243bitr4i 270 1  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   class class class wbr 4214   Tr wtr 4304    _E cep 4494   ran crn 4881    o. ccom 4884
This theorem is referenced by:  eltrans  25738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891
  Copyright terms: Public domain W3C validator