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Theorem dftr6 24178
Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
dftr6.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dftr6  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)

Proof of Theorem dftr6
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr6.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
21elrn 4935 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A )
3 brdif 4087 . . . . . 6  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A ) )
4 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
54, 1brco 4868 . . . . . . . 8  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A ) )
6 epel 4324 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
71epelc 4323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  A  <->  y  e.  A )
86, 7anbi12i 678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A )
)
98exbii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
105, 9bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
111epelc 4323 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  A  <->  x  e.  A )
1211notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  _E  A  <->  -.  x  e.  A )
1310, 12anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
14 19.41v 1854 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
15 exanali 1575 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
1614, 15bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
173, 13, 163bitri 262 . . . . 5  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  -.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A ) )
1817exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A  <->  E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
19 exnal 1564 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
202, 18, 193bitri 262 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
2120con2bii 322 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
22 dftr2 4131 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
23 eldif 3175 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) ) )
241, 23mpbiran 884 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
2521, 22, 243bitr4i 268 1  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   class class class wbr 4039   Tr wtr 4129    _E cep 4319   ran crn 4706    o. ccom 4709
This theorem is referenced by:  eltrans  24502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716
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