Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Structured version   Unicode version

Theorem dftrpred3g 25513
Description: The transitive predecessors of  X are equal to the predecessors of  X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3490 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
2 predel 25460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  z  e.  A )
3 setlikespec 25464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
4 trpredpred 25508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  z ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
65expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
76adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
z ) ) )
82, 7syl5 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
98ancld 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) ) )
10 trpredeq3 25502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  =  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
1110sseq2d 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
1211rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) )
13 ssiun 4135 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
159, 14syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
16 eliun 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  <->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
17 predel 25460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  A )
18 setlikespec 25464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
1918ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R Se  A  /\  y  e.  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2019adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )
21 trpredss 25509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2322sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  A ) )
243expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2524ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2623, 25syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2726imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )
2827, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
29 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
30 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  R Se  A
)
31 trpredelss 25512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  -> 
TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) ) )
3332imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3428, 33sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3534exp31 589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  TrPred ( R ,  A , 
y )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3617, 35syl5 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3736reximdvai 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3837, 13syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3916, 38syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
4015, 39jaod 371 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
41 ssun4 3515 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4240, 41syl6 32 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
431, 42syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
4443ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
45 ssun1 3512 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
4644, 45jctir 526 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
47 trpredmintr 25511 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4846, 47mpdan 651 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
49 setlikespec 25464 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
50 trpredpred 25508 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5149, 50syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5251sseld 3349 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )
) )
53 trpredelss 25512 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5452, 53syld 43 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5554ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
56 iunss 4134 . . . 4  |-  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5755, 56sylibr 205 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5851, 57unssd 3525 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5948, 58eqssd 3367 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   U_ciun 4095   Se wse 4541   Predcpred 25440   TrPredctrpred 25497
This theorem is referenced by:  dftrpred4g  25514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-pred 25441  df-trpred 25498
  Copyright terms: Public domain W3C validator