Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred4g Structured version   Unicode version

Theorem dftrpred4g 25514
Description: Another recursive expression for the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 27-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred4g  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( { y }  u.  TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X

Proof of Theorem dftrpred4g
StepHypRef Expression
1 dftrpred3g 25513 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
2 iunun 4173 . . 3  |-  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( { y }  u.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) { y }  u.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3 iunid 4148 . . . 4  |-  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) { y }  =  Pred ( R ,  A ,  X )
43uneq1i 3499 . . 3  |-  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) { y }  u.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
52, 4eqtri 2458 . 2  |-  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( { y }  u.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
61, 5syl6eqr 2488 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( { y }  u.  TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320   {csn 3816   U_ciun 4095   Se wse 4541   Predcpred 25440   TrPredctrpred 25497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-pred 25441  df-trpred 25498
  Copyright terms: Public domain W3C validator