MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Structured version   Unicode version

Theorem dfuzi 10352
Description: An expression for the upper integers that start at  N that is analogous to df-nn 9993 for natural numbers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dfuzi  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4059 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^|
{ x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x ) )
2 dfuz.1 . . . 4  |-  N  e.  ZZ
32peano5uzi 10350 . . 3  |-  ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x )
41, 3mpgbir 1559 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
52zrei 10280 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
65leidi 9553 . . . . 5  |-  N  <_  N
7 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  ( N  <_  z  <->  N  <_  N ) )
87elrab 3084 . . . . 5  |-  ( N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  N  <_  N ) )
92, 6, 8mpbir2an 887 . . . 4  |-  N  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
10 peano2uz2 10349 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )  -> 
( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } )
112, 10mpan 652 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
1211rgen 2763 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
13 zex 10283 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1413rabex 4346 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  _V
15 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( N  e.  x  <->  N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
16 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1716raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) ) )
1914, 18elab 3074 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
209, 12, 19mpbir2an 887 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  {
x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
21 intss1 4057 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
2220, 21ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
234, 22eqssi 3356 1  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   |^|cint 4042   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113   ZZcz 10274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator