MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Unicode version

Theorem dfuzi 10102
Description: An expression for the upper integers that start at  N that is analogous to df-nn 9747 for natural numbers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dfuzi  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 3879 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^|
{ x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x ) )
2 dfuz.1 . . . 4  |-  N  e.  ZZ
32peano5uzi 10100 . . 3  |-  ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x )
41, 3mpgbir 1537 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
52zrei 10030 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
65leidi 9307 . . . . 5  |-  N  <_  N
7 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  ( N  <_  z  <->  N  <_  N ) )
87elrab 2923 . . . . 5  |-  ( N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  N  <_  N ) )
92, 6, 8mpbir2an 886 . . . 4  |-  N  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
10 peano2uz2 10099 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )  -> 
( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } )
112, 10mpan 651 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
1211rgen 2608 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
13 zex 10033 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1413rabex 4165 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  _V
15 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( N  e.  x  <->  N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
16 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1716raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1815, 17anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) ) )
1914, 18elab 2914 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
209, 12, 19mpbir2an 886 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  {
x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
21 intss1 3877 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
2220, 21ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
234, 22eqssi 3195 1  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   |^|cint 3862   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   ZZcz 10024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator