MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Unicode version

Theorem dfuzi 10293
Description: An expression for the upper integers that start at  N that is analogous to df-nn 9934 for natural numbers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dfuzi  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4010 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^|
{ x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x ) )
2 dfuz.1 . . . 4  |-  N  e.  ZZ
32peano5uzi 10291 . . 3  |-  ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x )
41, 3mpgbir 1556 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
52zrei 10221 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
65leidi 9494 . . . . 5  |-  N  <_  N
7 breq2 4158 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  ( N  <_  z  <->  N  <_  N ) )
87elrab 3036 . . . . 5  |-  ( N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  N  <_  N ) )
92, 6, 8mpbir2an 887 . . . 4  |-  N  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
10 peano2uz2 10290 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )  -> 
( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } )
112, 10mpan 652 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
1211rgen 2715 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
13 zex 10224 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1413rabex 4296 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  _V
15 eleq2 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( N  e.  x  <->  N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
16 eleq2 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1716raleqbi1dv 2856 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) ) )
1914, 18elab 3026 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
209, 12, 19mpbir2an 887 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  {
x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
21 intss1 4008 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
2220, 21ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
234, 22eqssi 3308 1  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   A.wral 2650   {crab 2654    C_ wss 3264   |^|cint 3993   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   1c1 8925    + caddc 8927    <_ cle 9055   ZZcz 10215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216
  Copyright terms: Public domain W3C validator