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Theorem dfwe2 4589
Description: Alternate definition of well-ordering. Definition 6.24(2) of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfwe2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, A, y

Proof of Theorem dfwe2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-we 4370 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
2 df-so 4331 . . . 4  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
3 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
4 ax-1 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x R z  ->  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
54a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
6 fr2nr 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
763adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
8 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
98anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R y  /\  y R z ) ) )
109notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  ( x R y  /\  y R x )  <->  -.  ( x R y  /\  y R z ) ) )
117, 10syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x  =  z  ->  -.  ( x R y  /\  y R z ) ) )
12 pm2.21 100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( x R y  /\  y R z )  ->  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1311, 12syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x  =  z  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
14 fr3nr 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
15 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x R y  /\  y R z  /\  z R x )  <->  ( (
x R y  /\  y R z )  /\  z R x ) )
1615biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  z R x )  ->  (
x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
1716ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) )  ->  (
x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
1814, 17nsyl 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) ) )
1918pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) )  ->  x R z ) )
2019exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
z R x  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
215, 13, 203jaod 1246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
22 frirr 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  x  e.  A )  ->  -.  x R x )
23223ad2antr1 1120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  x R x )
2421, 23jctild 527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
2524ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) ) )
2625a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) ) )
2726alimdv 1611 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) ) )
28272alimdv 1613 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) ) )
29 r3al 2613 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) ) )
30 r3al 2613 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
3128, 29, 303imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
32 ralidm 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
33 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
x R y  <->  x R
z ) )
34 equequ2 1669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  y  <->  x  =  z ) )
35 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
3633, 34, 353orbi123d 1251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) ) )
3736cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
3837ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
3932, 38bitr3i 242 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
4039ralbii 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
41 df-po 4330 . . . . . . 7  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
4231, 40, 413imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  ->  R  Po  A ) )
4342ancrd 537 . . . . 5  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  ->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
443, 43impbid2 195 . . . 4  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
452, 44syl5bb 248 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
4645pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R  Or  A )  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
471, 46bitri 240 1  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    Po wpo 4328    Or wor 4329    Fr wfr 4365    We wwe 4367
This theorem is referenced by:  ordon  4590  f1oweALT  5867  dford2  7337  fpwwe2lem12  8279  fpwwe2lem13  8280  dfon2  24219  fnwe2  27253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370
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