Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgradd2 Structured version   Unicode version

 Description: The degree of a sum of polynomials of unequal degrees is the degree of the larger polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 plyaddcl 20144 . . . . . 6 Poly Poly Poly
213adant3 978 . . . . 5 Poly Poly Poly
3 dgrcl 20157 . . . . 5 Poly deg
42, 3syl 16 . . . 4 Poly Poly deg
54nn0red 10280 . . 3 Poly Poly deg
6 dgradd.2 . . . . . . 7 deg
7 dgrcl 20157 . . . . . . 7 Poly deg
86, 7syl5eqel 2522 . . . . . 6 Poly
983ad2ant2 980 . . . . 5 Poly Poly
109nn0red 10280 . . . 4 Poly Poly
11 dgradd.1 . . . . . . 7 deg
12 dgrcl 20157 . . . . . . 7 Poly deg
1311, 12syl5eqel 2522 . . . . . 6 Poly
14133ad2ant1 979 . . . . 5 Poly Poly
1514nn0red 10280 . . . 4 Poly Poly
16 ifcl 3777 . . . 4
1710, 15, 16syl2anc 644 . . 3 Poly Poly
1811, 6dgradd 20190 . . . 4 Poly Poly deg
19183adant3 978 . . 3 Poly Poly deg
2010leidd 9598 . . . 4 Poly Poly
21 simp3 960 . . . . 5 Poly Poly
2215, 10, 21ltled 9226 . . . 4 Poly Poly
23 breq1 4218 . . . . 5
24 breq1 4218 . . . . 5
2523, 24ifboth 3772 . . . 4
2620, 22, 25syl2anc 644 . . 3 Poly Poly
275, 17, 10, 19, 26letrd 9232 . 2 Poly Poly deg
28 eqid 2438 . . . . . . . 8 coeff coeff
29 eqid 2438 . . . . . . . 8 coeff coeff
3028, 29coeadd 20174 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff coeff
31303adant3 978 . . . . . 6 Poly Poly coeff coeff coeff
3231fveq1d 5733 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
3328coef3 20156 . . . . . . . . 9 Poly coeff
34333ad2ant1 979 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
35 ffn 5594 . . . . . . . 8 coeff coeff
3634, 35syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
3729coef3 20156 . . . . . . . . 9 Poly coeff
38373ad2ant2 980 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
39 ffn 5594 . . . . . . . 8 coeff coeff
4038, 39syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
41 nn0ex 10232 . . . . . . . 8
4241a1i 11 . . . . . . 7 Poly Poly
43 inidm 3552 . . . . . . 7
4415, 10ltnled 9225 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
4521, 44mpbid 203 . . . . . . . . 9 Poly Poly
46 simp1 958 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
4728, 11dgrub 20158 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff
48473expia 1156 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff
4946, 9, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 Poly Poly coeff
5049necon1bd 2674 . . . . . . . . 9 Poly Poly coeff
5145, 50mpd 15 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
5251adantr 453 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
53 eqidd 2439 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff
5436, 40, 42, 42, 43, 52, 53ofval 6317 . . . . . 6 Poly Poly coeff coeff coeff
559, 54mpdan 651 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
5638, 9ffvelrnd 5874 . . . . . 6 Poly Poly coeff
5756addid2d 9272 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff
5832, 55, 573eqtrd 2474 . . . 4 Poly Poly coeff coeff
59 simp2 959 . . . . 5 Poly Poly Poly
60 0re 9096 . . . . . . . 8
6160a1i 11 . . . . . . 7 Poly Poly
6214nn0ge0d 10282 . . . . . . 7 Poly Poly
6361, 15, 10, 62, 21lelttrd 9233 . . . . . 6 Poly Poly
6463gt0ne0d 9596 . . . . 5 Poly Poly
656, 29dgreq0 20188 . . . . . . 7 Poly coeff
66 fveq2 5731 . . . . . . . 8 deg deg
67 dgr0 20185 . . . . . . . . 9 deg
6867eqcomi 2442 . . . . . . . 8 deg
6966, 6, 683eqtr4g 2495 . . . . . . 7
7065, 69syl6bir 222 . . . . . 6 Poly coeff
7170necon3d 2641 . . . . 5 Poly coeff
7259, 64, 71sylc 59 . . . 4 Poly Poly coeff
7358, 72eqnetrd 2621 . . 3 Poly Poly coeff
74 eqid 2438 . . . 4 coeff coeff
75 eqid 2438 . . . 4 deg deg
7674, 75dgrub 20158 . . 3 Poly coeff deg
772, 9, 73, 76syl3anc 1185 . 2 Poly Poly deg
785, 10letri3d 9220 . 2 Poly Poly deg deg deg
7927, 77, 78mpbir2and 890 1 Poly Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958  cif 3741   class class class wbr 4215   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cc 8993  cr 8994  cc0 8995   caddc 8998   clt 9125   cle 9126  cn0 10226  c0p 19564  Polycply 20108  coeffccoe 20110  degcdgr 20111 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  20197  plyremlem  20226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115
 Copyright terms: Public domain W3C validator