MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Unicode version

Theorem dgrcl 20019
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . 3  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
21dgrval 20014 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  =  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  ) )
3 nn0ssre 10157 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR
4 ltso 9089 . . . . 5  |-  <  Or  RR
5 soss 4462 . . . . 5  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN0
76a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  <  Or  NN0 )
8 0z 10225 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
98a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  ZZ )
10 cnvimass 5164 . . . . 5  |-  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  dom  (coeff `  F )
111coef 20016 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
12 fdm 5535 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  (coeff `  F )  = 
NN0 )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  dom  (coeff `  F )  =  NN0 )
1410, 13syl5sseq 3339 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( `' (coeff `  F ) "
( CC  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
151dgrlem 20015 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
1615simprd 450 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
17 nn0uz 10452 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1817uzsupss 10500 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  NN0  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
199, 14, 16, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
207, 19supcl 7396 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
212, 20eqeltrd 2461 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263   {csn 3757   class class class wbr 4153    Or wor 4443   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053    <_ cle 9054   NN0cn0 10153   ZZcz 10214  Polycply 19970  coeffccoe 19972  degcdgr 19973
This theorem is referenced by:  dgrub  20020  dgrub2  20021  dgrlb  20022  coeidlem  20023  plyco  20027  dgreq  20030  0dgr  20031  coefv0  20033  coeaddlem  20034  coemullem  20035  coemulhi  20039  dgreq0  20050  dgrlt  20051  dgradd2  20053  dgrmul  20055  dgrmulc  20056  dgrcolem2  20059  dgrco  20060  plycj  20062  coecj  20063  plymul0or  20065  dvply2g  20069  plydivlem3  20079  plydivlem4  20080  plydivex  20081  plydiveu  20082  plyrem  20089  fta1lem  20091  fta1  20092  quotcan  20093  vieta1lem1  20094  vieta1lem2  20095  elqaalem2  20104  elqaalem3  20105  aareccl  20110  aannenlem1  20112  aannenlem2  20113  aalioulem1  20116  aaliou2  20124  taylply2  20151  dgrnznn  27009  dgraa0p  27023  mpaaeu  27024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-0p 19429  df-ply 19974  df-coe 19976  df-dgr 19977
  Copyright terms: Public domain W3C validator