MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Unicode version

Theorem dgrcl 19631
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
21dgrval 19626 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  =  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  ) )
3 nn0ssre 9985 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR
4 ltso 8919 . . . . 5  |-  <  Or  RR
5 soss 4348 . . . . 5  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
63, 4, 5mp2 17 . . . 4  |-  <  Or  NN0
76a1i 10 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  <  Or  NN0 )
8 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
98a1i 10 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  ZZ )
10 cnvimass 5049 . . . . 5  |-  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  dom  (coeff `  F )
111coef 19628 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
12 fdm 5409 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  (coeff `  F )  = 
NN0 )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  dom  (coeff `  F )  =  NN0 )
1410, 13syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( `' (coeff `  F ) "
( CC  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
151dgrlem 19627 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
1615simprd 449 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
17 nn0uz 10278 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1817uzsupss 10326 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  NN0  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
199, 14, 16, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
207, 19supcl 7225 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
212, 20eqeltrd 2370 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    Or wor 4329   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  dgrub  19632  dgrub2  19633  dgrlb  19634  coeidlem  19635  plyco  19639  dgreq  19642  0dgr  19643  coefv0  19645  coeaddlem  19646  coemullem  19647  coemulhi  19651  dgreq0  19662  dgrlt  19663  dgradd2  19665  dgrmul  19667  dgrmulc  19668  dgrcolem2  19671  dgrco  19672  plycj  19674  coecj  19675  plymul0or  19677  dvply2g  19681  plydivlem3  19691  plydivlem4  19692  plydivex  19693  plydiveu  19694  plyrem  19701  fta1lem  19703  fta1  19704  quotcan  19705  vieta1lem1  19706  vieta1lem2  19707  elqaalem2  19716  elqaalem3  19717  aareccl  19722  aannenlem1  19724  aannenlem2  19725  aalioulem1  19728  aaliou2  19736  taylply2  19763  dgrnznn  27443  dgraa0p  27457  mpaaeu  27458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
  Copyright terms: Public domain W3C validator