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Theorem dgrco 19672
Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrco  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )

Proof of Theorem dgrco
Dummy variables  f  x  y  d  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 19598 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
2 dgrco.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
31, 2sseldi 3191 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4 dgrco.1 . . . 4  |-  M  =  (deg `  F )
5 dgrcl 19631 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
62, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
74, 6syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  0 ) )
98imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
109ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  0  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1110imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
12 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
1312imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1413ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  d  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
16 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  ( d  +  1 ) ) )
1716imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1817ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1918imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
( d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
20 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  M ) )
2120imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  M  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2221ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  G )
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
26 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
2824, 27syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  N  e.  CC )
3130mul02d 9026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( 0  x.  N
)  =  0 )
32 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  <_  0 )
33 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  f
)  e.  NN0 )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
3534nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
0  <_  (deg `  f
) )
3634nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
37 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
38 letri3 8923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (deg `  f )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
(deg `  f )  =  0  <->  ( (deg `  f )  <_  0  /\  0  <_  (deg `  f ) ) ) )
3936, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  (
(deg `  f )  <_  0  /\  0  <_ 
(deg `  f )
) ) )
4032, 35, 39mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  0 )
4140oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  ( 0  x.  N ) )
4231, 41, 403eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  (deg `  f
) )
43 fconstmpt 4748 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
44 0dgrb 19644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  ( (deg `  f )  =  0  <-> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  f  =  ( CC  X.  { ( f ` 
0 ) } ) ) )
4640, 45mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) )
4725adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  e.  (Poly `  S
) )
48 plyf 19596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G : CC --> CC )
50 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y
)  e.  CC )
5149, 50sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0
) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5249feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  =  ( y  e.  CC  |->  ( G `  y ) ) )
53 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
5446, 53syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
55 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G `  y )  ->  (
f `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
5651, 52, 54, 55fmptco 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( f  o.  G
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
5743, 46, 563eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( f  o.  G ) )
5857fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  (deg `  ( f  o.  G ) ) )
5942, 58eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )
6059expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
6160ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  g ) )
6362breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  g )  <_  d ) )
64 coeq1 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  G )  =  ( g  o.  G ) )
6564fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( g  o.  G ) ) )
6662oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( (deg `  g )  x.  N ) )
6765, 66eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
6863, 67imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )
6968cbvralv 2777 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  g )  <_ 
d  ->  (deg `  (
g  o.  G ) )  =  ( (deg
`  g )  x.  N ) ) )
7033ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
7170nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
72 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e.  NN )
7372ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
7473nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  RR )
7571, 74leloed 8978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  <->  ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) ) ) )
76 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
d  e.  NN0 )
77 nn0leltp1 10091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (deg `  f )  e.  NN0  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  f )  <  ( d  +  1 ) ) )
7870, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  <->  (deg `  f
)  <  ( d  +  1 ) ) )
79 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  f ) )
8079breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
81 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  f  ->  (
g  o.  G )  =  ( f  o.  G ) )
8281fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( f  o.  G ) ) )
8379oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
8482, 83eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8580, 84imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
8685rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8878, 87sylbird 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  f )  =  (deg
`  f )
90 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  f  e.  (Poly `  CC )
)
911, 25sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
93 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  f )  =  (coeff `  f )
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
95 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) )
96 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
97 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  h ) )
9897breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  h )  <_  d ) )
99 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  o.  G )  =  ( h  o.  G ) )
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( h  o.  G ) ) )
10197oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  h )  x.  N ) )
102100, 101eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10398, 102imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  h )  <_  d  ->  (deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) ) )
104103cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  A. h  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  h )  <_ 
d  ->  (deg `  (
h  o.  G ) )  =  ( (deg
`  h )  x.  N ) ) )
10596, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. h  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  h
)  <_  d  ->  (deg
`  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10689, 24, 90, 92, 93, 94, 95, 105dgrcolem2 19671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
107106expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
10888, 107jaod 369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
10975, 108sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
110109expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  (Poly `  CC )
)  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
111110ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
11269, 111syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
113112expcom 424 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) ) )
114113a2d 23 . . . 4  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
11511, 15, 19, 23, 61, 114nn0ind 10124 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1167, 115mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
1177nn0red 10035 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
118117leidd 9355 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
119 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  F ) )
120119, 4syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  M )
121120breq1d 4049 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  <_  M  <->  M  <_  M ) )
122 coeq1 4857 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o.  G )  =  ( F  o.  G ) )
123122fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( F  o.  G ) ) )
124120oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
125123, 124eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) ) )
126121, 125imbi12d 311 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
127126rspcv 2893 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
1283, 116, 118, 127syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  taylply2  19763  ftalem7  20332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
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