Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrco Unicode version

Theorem dgrco 19656
 Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 deg
dgrco.2 deg
dgrco.3 Poly
dgrco.4 Poly
Assertion
Ref Expression
dgrco deg

Proof of Theorem dgrco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 19582 . . 3 Poly Poly
2 dgrco.3 . . 3 Poly
31, 2sseldi 3178 . 2 Poly
4 dgrco.1 . . . 4 deg
5 dgrcl 19615 . . . . 5 Poly deg
62, 5syl 15 . . . 4 deg
74, 6syl5eqel 2367 . . 3
8 breq2 4027 . . . . . . 7 deg deg
98imbi1d 308 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
109ralbidv 2563 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1110imbi2d 307 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
12 breq2 4027 . . . . . . 7 deg deg
1312imbi1d 308 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1413ralbidv 2563 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1514imbi2d 307 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
16 breq2 4027 . . . . . . 7 deg deg
1716imbi1d 308 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1817ralbidv 2563 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1918imbi2d 307 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
20 breq2 4027 . . . . . . 7 deg deg
2120imbi1d 308 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
2221ralbidv 2563 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
2322imbi2d 307 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12 deg
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
26 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12 deg
2824, 27syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11
2928nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10
3029adantr 451 . . . . . . . . 9 Poly deg
3130mul02d 9010 . . . . . . . 8 Poly deg
32 simprr 733 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
33 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
3534nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
3634nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
37 0re 8838 . . . . . . . . . . 11
38 letri3 8907 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg deg
3936, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg deg deg
4032, 35, 39mpbir2and 888 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
4140oveq1d 5873 . . . . . . . 8 Poly deg deg
4231, 41, 403eqtr4d 2325 . . . . . . 7 Poly deg deg deg
43 fconstmpt 4732 . . . . . . . . 9
44 0dgrb 19628 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
4640, 45mpbid 201 . . . . . . . . 9 Poly deg
4725adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly
48 plyf 19580 . . . . . . . . . . . 12 Poly
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
50 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
5149, 50sylan 457 . . . . . . . . . 10 Poly deg
5249feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10 Poly deg
53 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . 11
5446, 53syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10 Poly deg
55 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10
5651, 52, 54, 55fmptco 5691 . . . . . . . . 9 Poly deg
5743, 46, 563eqtr4a 2341 . . . . . . . 8 Poly deg
5857fveq2d 5529 . . . . . . 7 Poly deg deg deg
5942, 58eqtr2d 2316 . . . . . 6 Poly deg deg deg
6059expr 598 . . . . 5 Poly deg deg deg
6160ralrimiva 2626 . . . 4 Polydeg deg deg
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10 deg deg
6362breq1d 4033 . . . . . . . . 9 deg deg
64 coeq1 4841 . . . . . . . . . . 11
6564fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 deg deg
6662oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10 deg deg
6765, 66eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9 deg deg deg deg
6863, 67imbi12d 311 . . . . . . . 8 deg deg deg deg deg deg
6968cbvralv 2764 . . . . . . 7 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
7033ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg
7170nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg
72 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . 13
7372ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg
7473nnred 9761 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg
7571, 74leloed 8962 . . . . . . . . . 10 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
76 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg
77 nn0leltp1 10075 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg deg
7870, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg
79 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
8079breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
81 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
8379oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
8482, 83eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg
8580, 84imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg deg deg deg
8685rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
8878, 87sylbird 226 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
90 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Poly
911, 25sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Poly
93 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg
95 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg deg
96 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Polydeg deg deg deg Polydeg deg deg
97 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
9897breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
99 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10099fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
10197oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
102100, 101eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg deg
10398, 102imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg deg deg
104103cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
10596, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Polydeg deg deg
10689, 24, 90, 92, 93, 94, 95, 105dgrcolem2 19655 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
107106expr 598 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
10888, 107jaod 369 . . . . . . . . . 10 Poly Polydeg deg deg deg deg deg deg
10975, 108sylbid 206 . . . . . . . . 9 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
110109expr 598 . . . . . . . 8 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
111110ralrimdva 2633 . . . . . . 7 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
11269, 111syl5bi 208 . . . . . 6 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
113112expcom 424 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
114113a2d 23 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
11511, 15, 19, 23, 61, 114nn0ind 10108 . . 3 Polydeg deg deg
1167, 115mpcom 32 . 2 Polydeg deg deg
1177nn0red 10019 . . 3
118117leidd 9339 . 2
119 fveq2 5525 . . . . . 6 deg deg
120119, 4syl6eqr 2333 . . . . 5 deg
121120breq1d 4033 . . . 4 deg
122 coeq1 4841 . . . . . 6
123122fveq2d 5529 . . . . 5 deg deg
124120oveq1d 5873 . . . . 5 deg
125123, 124eqeq12d 2297 . . . 4 deg deg deg
126121, 125imbi12d 311 . . 3 deg deg deg deg
127126rspcv 2880 . 2 Poly Polydeg deg deg deg
1283, 116, 118, 127syl3c 57 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   ccom 4693  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868  cn 9746  cn0 9965  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569 This theorem is referenced by:  taylply2  19747  ftalem7  20316 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
 Copyright terms: Public domain W3C validator