Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem1 Unicode version

Theorem dgrcolem1 19670
 Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 deg
dgrcolem1.2
dgrcolem1.3
dgrcolem1.4 Poly
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 deg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2
2 oveq2 5882 . . . . . . 7
32mpteq2dv 4123 . . . . . 6
43fveq2d 5545 . . . . 5 deg deg
5 oveq1 5881 . . . . 5
64, 5eqeq12d 2310 . . . 4 deg deg
76imbi2d 307 . . 3 deg deg
8 oveq2 5882 . . . . . . 7
98mpteq2dv 4123 . . . . . 6
109fveq2d 5545 . . . . 5 deg deg
11 oveq1 5881 . . . . 5
1210, 11eqeq12d 2310 . . . 4 deg deg
1312imbi2d 307 . . 3 deg deg
14 oveq2 5882 . . . . . . 7
1514mpteq2dv 4123 . . . . . 6
1615fveq2d 5545 . . . . 5 deg deg
17 oveq1 5881 . . . . 5
1816, 17eqeq12d 2310 . . . 4 deg deg
1918imbi2d 307 . . 3 deg deg
20 oveq2 5882 . . . . . . 7
2120mpteq2dv 4123 . . . . . 6
2221fveq2d 5545 . . . . 5 deg deg
23 oveq1 5881 . . . . 5
2422, 23eqeq12d 2310 . . . 4 deg deg
2524imbi2d 307 . . 3 deg deg
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 Poly
27 plyf 19596 . . . . . . . . . . 11 Poly
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylan 457 . . . . . . . . 9
3130exp1d 11256 . . . . . . . 8
3231mpteq2dva 4122 . . . . . . 7
3328feqmptd 5591 . . . . . . 7
3432, 33eqtr4d 2331 . . . . . 6
3534fveq2d 5545 . . . . 5 deg deg
36 dgrcolem1.1 . . . . 5 deg
3735, 36syl6eqr 2346 . . . 4 deg
38 dgrcolem1.3 . . . . . 6
3938nncnd 9778 . . . . 5
4039mulid2d 8869 . . . 4
4137, 40eqtr4d 2331 . . 3 deg
4230adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
43 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
4642, 45expp1d 11262 . . . . . . . . . . 11
4746mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10
48 cnex 8834 . . . . . . . . . . . 12
4948a1i 10 . . . . . . . . . . 11
50 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
5150a1i 10 . . . . . . . . . . 11
52 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
5333adantr 451 . . . . . . . . . . 11
5449, 51, 42, 52, 53offval2 6111 . . . . . . . . . 10
5547, 54eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9
5655fveq2d 5545 . . . . . . . 8 deg deg
5756adantr 451 . . . . . . 7 deg deg deg
58 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12
5958adantl 452 . . . . . . . . . . 11
60 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11
6239adantr 451 . . . . . . . . . . 11
6359, 61, 62adddird 8876 . . . . . . . . . 10
6462mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11
6564oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
6663, 65eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
6766adantr 451 . . . . . . . 8 deg
68 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13
69 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13
7042, 53, 68, 69fmptco 5707 . . . . . . . . . . . 12
71 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
73 plypow 19603 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
7472, 61, 44, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
75 plyssc 19598 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
7626adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
7775, 76sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
78 addcl 8835 . . . . . . . . . . . . . 14
7978adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
80 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
8274, 77, 79, 81plyco 19639 . . . . . . . . . . . 12 Poly
8370, 82eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11 Poly
8483adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg Poly
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
8738adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
8886, 87nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . 14
8988nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 deg
9185, 90eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . 11 deg deg
92 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
93 dgr0 19659 . . . . . . . . . . . . 13 deg
9492, 93syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12 deg
9594necon3i 2498 . . . . . . . . . . 11 deg
9691, 95syl 15 . . . . . . . . . 10 deg
9777adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg Poly
9838nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13
99 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
10099, 93syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg
10136, 100syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14
102101necon3i 2498 . . . . . . . . . . . . 13
10398, 102syl 15 . . . . . . . . . . . 12
104103adantr 451 . . . . . . . . . . 11
105104adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg
106 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11 deg deg
107106, 36dgrmul 19667 . . . . . . . . . 10 Poly Poly deg deg
10884, 96, 97, 105, 107syl22anc 1183 . . . . . . . . 9 deg deg deg
109 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 deg deg
110109adantl 452 . . . . . . . . 9 deg deg
111108, 110eqtrd 2328 . . . . . . . 8 deg deg
11267, 111eqtr4d 2331 . . . . . . 7 deg deg
11357, 112eqtr4d 2331 . . . . . 6 deg deg
114113ex 423 . . . . 5 deg deg
115114expcom 424 . . . 4 deg deg
116115a2d 23 . . 3 deg deg
1177, 13, 19, 25, 41, 116nnind 9780 . 2 deg
1181, 117mpcom 32 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801   wss 3165   cmpt 4093   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cn 9762  cn0 9981  cexp 11120  c0p 19040  Polycply 19582  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  19671 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
 Copyright terms: Public domain W3C validator