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Theorem dgrcolem1 19654
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1  |-  N  =  (deg `  G )
dgrcolem1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dgrcolem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dgrcolem1.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables  w  d  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
1 ) )
32mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) ) )
5 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
64, 5eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ 1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) )
76imbi2d 307 . . 3  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) ) )
8 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  d  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
98mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( y  =  d  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) ) )
11 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (
y  x.  N )  =  ( d  x.  N ) )
1210, 11eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  d  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( y  =  d  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) ) )
1615fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
y  x.  N )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) )
1816, 17eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) )
1918imbi2d 307 . . 3  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
20 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (
y  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
2422, 23eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
2524imbi2d 307 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
27 plyf 19580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
29 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
3028, 29sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
3130exp1d 11240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ 1 )  =  ( G `  x
) )
3231mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
3328feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
3432, 33eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  G )
3534fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  (deg `  G
) )
36 dgrcolem1.1 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
3735, 36syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  N )
38 dgrcolem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3938nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4039mulid2d 8853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
4137, 40eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) )
4230adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
43 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e. 
NN0 )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  d  e.  NN0 )
4642, 45expp1d 11246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) )  =  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) )
4746mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) ) )
48 cnex 8818 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
4948a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
50 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) ^ d )  e. 
_V
5150a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ d )  e.  _V )
52 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
5333adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
5449, 51, 42, 52, 53offval2 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5547, 54eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  o F  x.  G
) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) ) )
5756adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) ) )
58 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  CC )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  CC )
60 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6239adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6359, 61, 62adddird 8860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
6462mulid2d 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6663, 65eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6766adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
68 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
d ) ) )
69 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ d )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
7042, 53, 68, 69fmptco 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
71 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  C_  CC )
73 plypow 19587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
7472, 61, 44, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
75 plyssc 19582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
7626adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
7775, 76sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
78 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
7978adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  +  w )  e.  CC )
80 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  x.  w )  e.  CC )
8274, 77, 79, 81plyco 19623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
8370, 82eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
8483adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN )
8738adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
8886, 87nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  e.  NN )
8988nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  =/=  0 )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
d  x.  N )  =/=  0 )
9185, 90eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =/=  0 )
92 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0 p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  (deg
`  0 p ) )
93 dgr0 19643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
9492, 93syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0 p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  0 )
9594necon3i 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0 p )
9691, 95syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0 p )
9777adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
9838nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
99 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  =  0 p  -> 
(deg `  G )  =  (deg `  0 p
) )
10099, 93syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  =  0 p  -> 
(deg `  G )  =  0 )
10136, 100syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  =  0 p  ->  N  =  0 )
102101necon3i 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  G  =/=  0 p )
10398, 102syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =/=  0 p )
104103adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =/=  0 p )
105104adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  =/=  0 p )
106 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
107106, 36dgrmul 19651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  =/=  0 p )  /\  ( G  e.  (Poly `  CC )  /\  G  =/=  0 p ) )  -> 
(deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  +  N
) )
10884, 96, 97, 105, 107syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N ) )
109 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
110109adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
111108, 110eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
11267, 111eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  o F  x.  G ) ) )
11357, 112eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) )
114113ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) ) )
115114expcom 424 . . . 4  |-  ( d  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
)  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
116115a2d 23 . . 3  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
1177, 13, 19, 25, 41, 116nnind 9764 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
1181, 117mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   0 pc0p 19024  Polycply 19566  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  19655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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