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Theorem dgrcolem2 19655
Description: Lemma for dgrco 19656. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.5  |-  A  =  (coeff `  F )
dgrco.6  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dgrco.7  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
dgrco.8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, M    f, N    D, f    f, G    ph, f
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
2 plyf 19580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
4 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
6 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7 plyf 19580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
9 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  ( G `  x )  e.  CC )  -> 
( F `  ( G `  x )
)  e.  CC )
108, 9sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( G `  x )  e.  CC )  ->  ( F `  ( G `  x ) )  e.  CC )
115, 10syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `
 ( G `  x ) )  e.  CC )
12 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (coeff `  F )
1312coef3 19614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
146, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
15 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  (deg `  F )
16 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
176, 16syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
1815, 17syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A `  M
)  e.  CC )
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
2120adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
2218adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  M  e. 
NN0 )
235, 22expcld 11245 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ M )  e.  CC )
2421, 23mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) )  e.  CC )
2511, 24npcand 9161 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( F `  ( G `  x )
) )
2625mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  +  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `
 x ) ) ) )
27 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2827a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
2911, 24subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  e.  CC )
30 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
31 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
3228, 29, 24, 30, 31offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
333feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
348feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
35 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
365, 33, 34, 35fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3726, 32, 363eqtr4rd 2326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
3837fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
3938adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) ) )
4028, 11, 24, 36, 31offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
41 plyssc 19582 . . . . . . . . 9  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
4241, 6sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4341, 1sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
44 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
4544adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  +  w
)  e.  CC )
46 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
4746adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  x.  w
)  e.  CC )
4842, 43, 45, 47plyco 19623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
49 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )
50 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ M )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) )  =  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )
525, 33, 49, 51fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
53 ssid 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5453a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )
5655ply1term 19586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( A `  M )  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5754, 20, 18, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5857, 43, 45, 47plyco 19623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
5952, 58eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
60 plysubcl 19604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (
( F  o.  G
)  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )
)
6148, 59, 60syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6240, 61eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6362adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6459adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
65 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
66 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
67 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6965, 68eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7069nngt0d 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
71 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg ` 
0 p ) )
72 dgr0 19643 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
7371, 72syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  0 )
7473breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (
(deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  0  <  M
) )
7570, 74syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0 p  -> 
(deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
76 idd 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
77 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
7815, 77dgrsub 19653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  (deg
`  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7942, 57, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ,  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
8069nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
8115, 12dgreq0 19646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
826, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
83 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
8483, 72syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
8515, 84syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0 p  ->  M  =  0 )
8682, 85syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  =  0  ->  M  =  0 ) )
8786necon3d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  =/=  0  ->  ( A `  M
)  =/=  0 ) )
8880, 87mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =/=  0 )
8955dgr1term 19641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  M )
9020, 88, 18, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  M )
9190ifeq1d 3579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M ) )
92 ifid 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M )  =  M
9391, 92syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  M )
9479, 93breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M )
95 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
9612, 95coesub 19638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  ( A  o F  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) )
9742, 57, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  =  ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) )
9897fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M ) )
99 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
10014, 99syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
10195coef3 19614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
10257, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) : NN0 --> CC )
103 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  Fn 
NN0 )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  Fn  NN0 )
105 nn0ex 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
106105a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
107 inidm 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
108 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  M ) )
10955coe1term 19640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) `
 M )  =  if ( M  =  M ,  ( A `
 M ) ,  0 ) )
11020, 18, 18, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 ) )
111 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  M
112 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  M  ->  if ( M  =  M ,  ( A `  M ) ,  0 )  =  ( A `
 M ) )
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 )  =  ( A `  M )
114110, 113syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  ( A `
 M ) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) `  M )  =  ( A `  M ) )
116100, 104, 106, 106, 107, 108, 115ofval 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) `
 M )  =  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
) )
11718, 116mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A `  M
)  -  ( A `
 M ) ) )
11820subidd 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
)  =  0 )
11998, 117, 1183eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  0 )
120 plysubcl 19604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
12142, 57, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
122 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
123 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
124122, 123dgrlt 19647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
125121, 18, 124syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
12694, 119, 125mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M ) )
12775, 76, 126mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M )
128127adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )
129 dgrcl 19615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
130121, 129syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
131130nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR )
132131adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  e.  RR )
13318nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
134133adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
135 nnre 9753 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
136135adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
137 nngt0 9775 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
138137adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
N )
139 ltmul1 9606 . . . . . . 7  |-  ( ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
140132, 134, 136, 138, 139syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
141128, 140mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) )
142 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
1438, 142sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `
 y )  e.  CC )
14420adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
145 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
146 expcl 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( y ^ M
)  e.  CC )
147145, 18, 146syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ M )  e.  CC )
148144, 147mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) )  e.  CC )
14928, 143, 148, 34, 49offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( F `
 y )  -  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) )
15035, 51oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( F `  y
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )
1515, 33, 149, 150fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )
152151fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
153 dgrco.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
154127, 65breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) )
155 nn0leltp1 10075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  <->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
156130, 66, 155syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D 
<->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
157154, 156mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D )
158 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  f
)  =  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) )
159158breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  D  <->  (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D )
)
160 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( f  o.  G )  =  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )
161160fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  (deg `  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) ) )
162158oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  x.  N
)  =  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
163161, 162eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N )  <->  (deg `  (
( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) ) )
164159, 163imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
165164rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  D  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
166121, 153, 157, 165syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
167152, 166eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
168167adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
169 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( A `
 M ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `
 M ) )
170169a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  {
( A `  M
) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `  M ) ) )
171 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
17228, 21, 23, 170, 171offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
173172fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
174 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) ) )
1755, 33, 174, 50fmptco 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
176 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
177176a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
178 plypow 19587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )
17954, 177, 18, 178syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
180179, 43, 45, 47plyco 19623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
181175, 180eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
182 dgrmulc 19652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
18320, 88, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
184173, 183eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
185184adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
186 dgrco.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (deg `  G )
18769adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
188 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1891adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
190186, 187, 188, 189dgrcolem1 19654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
191185, 190eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  ( M  x.  N
) )
192141, 168, 1913brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
193 eqid 2283 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
194 eqid 2283 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )
195193, 194dgradd2 19649 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  ->  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
19663, 64, 192, 195syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
19739, 196, 1913eqtrd 2319 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
198 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
199 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
2003, 198, 199sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
201 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  ( G `  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( G `  0 )
)  e.  CC )
2028, 200, 201syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  0 )
)  e.  CC )
203 0dgr 19627 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( G `
 0 ) )  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  0 )
204202, 203syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  0 )
20518nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
206205mul01d 9011 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
207204, 206eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
208207adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
209200ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
210 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  N  =  0 )
211186, 210syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  G )  =  0 )
212 0dgrb 19628 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (deg `  G )  =  0  <-> 
G  =  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } ) ) )
2131, 212syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  G
)  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) ) )
214213adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
(deg `  G )  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G `  0 ) } ) ) )
215211, 214mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) )
216 fconstmpt 4732 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 0 ) )
217215, 216syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G ` 
0 ) ) )
21834adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `  y ) ) )
219 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G ` 
0 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  0 ) ) )
220209, 217, 218, 219fmptco 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `  0 ) ) ) )
221 fconstmpt 4732 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { ( F `
 ( G ` 
0 ) ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G ` 
0 ) ) )
222220, 221syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )
223222fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) ) )
224210oveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  0 ) )
225208, 223, 2243eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
226 dgrcl 19615 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2271, 226syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
228186, 227syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
229 elnn0 9967 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
230228, 229sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
231197, 225, 230mpjaodan 761 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   0 pc0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  dgrco  19656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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