Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem2 Unicode version

Theorem dgrcolem2 19671
 Description: Lemma for dgrco 19672. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 deg
dgrco.2 deg
dgrco.3 Poly
dgrco.4 Poly
dgrco.5 coeff
dgrco.6
dgrco.7
dgrco.8 Polydeg deg deg
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2 deg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11 Poly
2 plyf 19596 . . . . . . . . . . 11 Poly
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
53, 4sylan 457 . . . . . . . . 9
6 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11 Poly
7 plyf 19596 . . . . . . . . . . 11 Poly
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10
9 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
108, 9sylan 457 . . . . . . . . 9
115, 10syldan 456 . . . . . . . 8
12 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
1312coef3 19630 . . . . . . . . . . . 12 Poly
146, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11
15 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12 deg
16 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
176, 16syl 15 . . . . . . . . . . . 12 deg
1815, 17syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11
19 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
2120adantr 451 . . . . . . . . 9
2218adantr 451 . . . . . . . . . 10
235, 22expcld 11261 . . . . . . . . 9
2421, 23mulcld 8871 . . . . . . . 8
2511, 24npcand 9177 . . . . . . 7
2625mpteq2dva 4122 . . . . . 6
27 cnex 8834 . . . . . . . 8
2827a1i 10 . . . . . . 7
2911, 24subcld 9173 . . . . . . 7
30 eqidd 2297 . . . . . . 7
31 eqidd 2297 . . . . . . 7
3228, 29, 24, 30, 31offval2 6111 . . . . . 6
333feqmptd 5591 . . . . . . 7
348feqmptd 5591 . . . . . . 7
35 fveq2 5541 . . . . . . 7
365, 33, 34, 35fmptco 5707 . . . . . 6
3726, 32, 363eqtr4rd 2339 . . . . 5
3837fveq2d 5545 . . . 4 deg deg
3938adantr 451 . . 3 deg deg
4028, 11, 24, 36, 31offval2 6111 . . . . . 6
41 plyssc 19598 . . . . . . . . 9 Poly Poly
4241, 6sseldi 3191 . . . . . . . 8 Poly
4341, 1sseldi 3191 . . . . . . . 8 Poly
44 addcl 8835 . . . . . . . . 9
4544adantl 452 . . . . . . . 8
46 mulcl 8837 . . . . . . . . 9
4746adantl 452 . . . . . . . 8
4842, 43, 45, 47plyco 19639 . . . . . . 7 Poly
49 eqidd 2297 . . . . . . . . 9
50 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
525, 33, 49, 51fmptco 5707 . . . . . . . 8
53 ssid 3210 . . . . . . . . . . 11
5453a1i 10 . . . . . . . . . 10
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
5655ply1term 19602 . . . . . . . . . 10 Poly
5754, 20, 18, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 Poly
5857, 43, 45, 47plyco 19639 . . . . . . . 8 Poly
5952, 58eqeltrrd 2371 . . . . . . 7 Poly
60 plysubcl 19620 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
6148, 59, 60syl2anc 642 . . . . . 6 Poly
6240, 61eqeltrrd 2371 . . . . 5 Poly
6362adantr 451 . . . 4 Poly
6459adantr 451 . . . 4 Poly
65 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11
66 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12
67 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11
6965, 68eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10
7069nngt0d 9805 . . . . . . . . 9
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11 deg deg
72 dgr0 19659 . . . . . . . . . . 11 deg
7371, 72syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10 deg
7473breq1d 4049 . . . . . . . . 9 deg
7570, 74syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8 deg
76 idd 21 . . . . . . . 8 deg deg
77 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
7815, 77dgrsub 19669 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly deg deg deg
7942, 57, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 deg deg deg
8069nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . 14
8115, 12dgreq0 19662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
826, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
8483, 72syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg
8515, 84syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8682, 85syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
8880, 87mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
8955dgr1term 19657 . . . . . . . . . . . . 13 deg
9020, 88, 18, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 deg
9190ifeq1d 3592 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg
92 ifid 3610 . . . . . . . . . . 11 deg
9391, 92syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10 deg deg
9479, 93breqtrd 4063 . . . . . . . . 9 deg
95 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
9612, 95coesub 19654 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly coeff coeff
9742, 57, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
9897fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
99 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
10014, 99syl 15 . . . . . . . . . . . 12
10195coef3 19630 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
10257, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
103 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12 coeff
105 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . . . 13
106105a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
107 inidm 3391 . . . . . . . . . . . 12
108 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12
10955coe1term 19656 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff
11020, 18, 18, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff
111 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
114110, 113syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 coeff
116100, 104, 106, 106, 107, 108, 115ofval 6103 . . . . . . . . . . 11 coeff
11718, 116mpdan 649 . . . . . . . . . 10 coeff
11820subidd 9161 . . . . . . . . . 10
11998, 117, 1183eqtrd 2332 . . . . . . . . 9 coeff
120 plysubcl 19620 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
12142, 57, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 Poly
122 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11 deg deg
123 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
124122, 123dgrlt 19663 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg coeff
125121, 18, 124syl2anc 642 . . . . . . . . 9 deg deg coeff
12694, 119, 125mpbir2and 888 . . . . . . . 8 deg
12775, 76, 126mpjaod 370 . . . . . . 7 deg
128127adantr 451 . . . . . 6 deg
129 dgrcl 19631 . . . . . . . . . 10 Poly deg
130121, 129syl 15 . . . . . . . . 9 deg
131130nn0red 10035 . . . . . . . 8 deg
132131adantr 451 . . . . . . 7 deg
13318nn0red 10035 . . . . . . . 8
134133adantr 451 . . . . . . 7
135 nnre 9769 . . . . . . . 8
136135adantl 452 . . . . . . 7
137 nngt0 9791 . . . . . . . 8
138137adantl 452 . . . . . . 7
139 ltmul1 9622 . . . . . . 7 deg deg deg
140132, 134, 136, 138, 139syl112anc 1186 . . . . . 6 deg deg
141128, 140mpbid 201 . . . . 5 deg
142 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
1438, 142sylan 457 . . . . . . . . . 10
14420adantr 451 . . . . . . . . . . 11
145 id 19 . . . . . . . . . . . 12
146 expcl 11137 . . . . . . . . . . . 12
147145, 18, 146syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11
148144, 147mulcld 8871 . . . . . . . . . 10
14928, 143, 148, 34, 49offval2 6111 . . . . . . . . 9
15035, 51oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
1515, 33, 149, 150fmptco 5707 . . . . . . . 8
152151fveq2d 5545 . . . . . . 7 deg deg
153 dgrco.8 . . . . . . . 8 Polydeg deg deg
154127, 65breqtrd 4063 . . . . . . . . 9 deg
155 nn0leltp1 10091 . . . . . . . . . 10 deg deg deg
156130, 66, 155syl2anc 642 . . . . . . . . 9 deg deg
157154, 156mpbird 223 . . . . . . . 8 deg
158 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11 deg deg
159158breq1d 4049 . . . . . . . . . 10 deg deg
160 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . 12
161160fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 deg deg
162158oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11 deg deg
163161, 162eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10 deg deg deg deg
164159, 163imbi12d 311 . . . . . . . . 9 deg deg deg deg deg deg
165164rspcv 2893 . . . . . . . 8 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
166121, 153, 157, 165syl3c 57 . . . . . . 7 deg deg
167152, 166eqtr3d 2330 . . . . . 6 deg deg
168167adantr 451 . . . . 5 deg deg
169 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . 11
170169a1i 10 . . . . . . . . . 10
171 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10
17228, 21, 23, 170, 171offval2 6111 . . . . . . . . 9
173172fveq2d 5545 . . . . . . . 8 deg deg
174 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
1755, 33, 174, 50fmptco 5707 . . . . . . . . . 10
176 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13
177176a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
178 plypow 19603 . . . . . . . . . . . 12 Poly
17954, 177, 18, 178syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 Poly
180179, 43, 45, 47plyco 19639 . . . . . . . . . 10 Poly
181175, 180eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9 Poly
182 dgrmulc 19668 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
18320, 88, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . . 8 deg deg
184173, 183eqtr3d 2330 . . . . . . 7 deg deg
185184adantr 451 . . . . . 6 deg deg
186 dgrco.2 . . . . . . 7 deg
18769adantr 451 . . . . . . 7
188 simpr 447 . . . . . . 7
1891adantr 451 . . . . . . 7 Poly
190186, 187, 188, 189dgrcolem1 19670 . . . . . 6 deg
191185, 190eqtrd 2328 . . . . 5 deg
192141, 168, 1913brtr4d 4069 . . . 4 deg deg
193 eqid 2296 . . . . 5 deg deg
194 eqid 2296 . . . . 5 deg deg
195193, 194dgradd2 19665 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg
19663, 64, 192, 195syl3anc 1182 . . 3 deg deg
19739, 196, 1913eqtrd 2332 . 2 deg
198 0cn 8847 . . . . . . . 8
199 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
2003, 198, 199sylancl 643 . . . . . . 7
201 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
2028, 200, 201syl2anc 642 . . . . . 6
203 0dgr 19643 . . . . . 6 deg
204202, 203syl 15 . . . . 5 deg
20518nn0cnd 10036 . . . . . 6
206205mul01d 9027 . . . . 5
207204, 206eqtr4d 2331 . . . 4 deg
208207adantr 451 . . 3 deg
209200ad2antrr 706 . . . . . 6
210 simpr 447 . . . . . . . . 9
211186, 210syl5eqr 2342 . . . . . . . 8 deg
212 0dgrb 19644 . . . . . . . . . 10 Poly deg
2131, 212syl 15 . . . . . . . . 9 deg
214213adantr 451 . . . . . . . 8 deg
215211, 214mpbid 201 . . . . . . 7
216 fconstmpt 4748 . . . . . . 7
217215, 216syl6eq 2344 . . . . . 6
21834adantr 451 . . . . . 6
219 fveq2 5541 . . . . . 6
220209, 217, 218, 219fmptco 5707 . . . . 5
221 fconstmpt 4748 . . . . 5
222220, 221syl6eqr 2346 . . . 4
223222fveq2d 5545 . . 3 deg deg
224210oveq2d 5890 . . 3
225208, 223, 2243eqtr4d 2338 . 2 deg
226 dgrcl 19631 . . . . 5 Poly deg
2271, 226syl 15 . . . 4 deg
228186, 227syl5eqel 2380 . . 3
229 elnn0 9983 . . 3
230228, 229sylib 188 . 2
231197, 225, 230mpjaodan 761 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801   wss 3165  cif 3578  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cexp 11120  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  dgrco  19672 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
 Copyright terms: Public domain W3C validator