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Theorem dgrle 20029
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrle.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dgrle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
dgrle.4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrle  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Distinct variable groups:    z, A    z, k, N    ph, k, z
Allowed substitution hints:    A( k)    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 dgrle.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
51, 2, 3, 4coeeq2 20028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
65ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
(coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
76fveq1d 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
8 nfcv 2523 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
m
9 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  -.  m  <_  N
10 nffvmpt1 5676 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )
1110nfeq1 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0
129, 11nfim 1822 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
13 breq1 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
k  <_  N  <->  m  <_  N ) )
1413notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( -.  k  <_  N  <->  -.  m  <_  N ) )
15 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
1615eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =  0  <->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
1714, 16imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 )  <->  ( -.  m  <_  N  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) ) )
18 iffalse 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  0 )
1918fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
20 0cn 9017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
21 fvi 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
2319, 22syl6eq 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  0 )
24 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
2524fvmpt2i 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
2625eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0  <->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A , 
0 ) )  =  0 ) )
2723, 26syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
288, 12, 17, 27vtoclgaf 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
2928imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  -.  m  <_  N )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
3029adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0 )
317, 30eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  0 )
3231ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -.  m  <_  N  ->  (
(coeff `  F ) `  m )  =  0 ) )
3332necon1ad 2617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
(coeff `  F ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N )
)
3433ralrimiva 2732 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
35 eqid 2387 . . . . . 6  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
3635coef3 20018 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
371, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )
38 plyco0 19978 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )  -> 
( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
392, 37, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
4034, 39mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  F
) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 } )
41 eqid 2387 . . 3  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
4235, 41dgrlb 20022 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  N  e.  NN0  /\  ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  (deg `  F
)  <_  N )
431, 2, 40, 42syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   ifcif 3682   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    _I cid 4434   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    <_ cle 9054   NN0cn0 10153   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   ^cexp 11309   sum_csu 12406  Polycply 19970  coeffccoe 19972  degcdgr 19973
This theorem is referenced by:  dgreq  20030  0dgr  20031  coeaddlem  20034  coemullem  20035  taylply2  20151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-0p 19429  df-ply 19974  df-coe 19976  df-dgr 19977
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