Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrle Structured version   Unicode version

Theorem dgrle 20163
 Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 Poly
dgrle.2
dgrle.3
dgrle.4
Assertion
Ref Expression
dgrle deg
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 Poly
2 dgrle.2 . 2
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10
51, 2, 3, 4coeeq2 20162 . . . . . . . . 9 coeff
65ad2antrr 708 . . . . . . . 8 coeff
76fveq1d 5731 . . . . . . 7 coeff
8 nfcv 2573 . . . . . . . . . 10
9 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11
10 nffvmpt1 5737 . . . . . . . . . . . 12
1110nfeq1 2582 . . . . . . . . . . 11
129, 11nfim 1833 . . . . . . . . . 10
13 breq1 4216 . . . . . . . . . . . 12
1413notbid 287 . . . . . . . . . . 11
15 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . 12
1615eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11
1714, 16imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
18 iffalse 3747 . . . . . . . . . . . . 13
1918fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12
20 0cn 9085 . . . . . . . . . . . . 13
21 fvi 5784 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
2319, 22syl6eq 2485 . . . . . . . . . . 11
24 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13
2524fvmpt2i 5812 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11
2723, 26syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10
288, 12, 17, 27vtoclgaf 3017 . . . . . . . . 9
2928imp 420 . . . . . . . 8
3029adantll 696 . . . . . . 7
317, 30eqtrd 2469 . . . . . 6 coeff
3231ex 425 . . . . 5 coeff
3332necon1ad 2672 . . . 4 coeff
3433ralrimiva 2790 . . 3 coeff
35 eqid 2437 . . . . . 6 coeff coeff
3635coef3 20152 . . . . 5 Poly coeff
371, 36syl 16 . . . 4 coeff
38 plyco0 20112 . . . 4 coeff coeff coeff
392, 37, 38syl2anc 644 . . 3 coeff coeff
4034, 39mpbird 225 . 2 coeff
41 eqid 2437 . . 3 deg deg
4235, 41dgrlb 20156 . 2 Poly coeff deg
431, 2, 40, 42syl3anc 1185 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  cif 3740  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267   cid 4494  cima 4882  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cc0 8991  c1 8992   caddc 8994   cmul 8996   cle 9122  cn0 10222  cuz 10489  cfz 11044  cexp 11383  csu 12480  Polycply 20104  coeffccoe 20106  degcdgr 20107 This theorem is referenced by:  dgreq  20164  0dgr  20165  coeaddlem  20168  coemullem  20169  taylply2  20285 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-0p 19563  df-ply 20108  df-coe 20110  df-dgr 20111
 Copyright terms: Public domain W3C validator