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Theorem dgrle 19625
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrle.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dgrle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
dgrle.4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrle  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Distinct variable groups:    z, A    z, k, N    ph, k, z
Allowed substitution hints:    A( k)    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 dgrle.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
51, 2, 3, 4coeeq2 19624 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
(coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
76fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
8 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
m
9 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  -.  m  <_  N
10 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
1110, 8nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )
1211nfeq1 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0
139, 12nfim 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
14 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
k  <_  N  <->  m  <_  N ) )
1514notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( -.  k  <_  N  <->  -.  m  <_  N ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
1716eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =  0  <->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
1815, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 )  <->  ( -.  m  <_  N  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) ) )
19 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  0 )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
21 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
22 fvi 5579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
2420, 23syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  0 )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
2625fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
2726eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0  <->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A , 
0 ) )  =  0 ) )
2824, 27syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
298, 13, 18, 28vtoclgaf 2848 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
3029imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  -.  m  <_  N )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
3130adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0 )
327, 31eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  0 )
3332ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -.  m  <_  N  ->  (
(coeff `  F ) `  m )  =  0 ) )
3433necon1ad 2513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
(coeff `  F ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N )
)
3534ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
36 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
3736coef3 19614 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
381, 37syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )
39 plyco0 19574 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )  -> 
( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
402, 38, 39syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
4135, 40mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  F
) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 } )
42 eqid 2283 . . 3  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
4336, 42dgrlb 19618 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  N  e.  NN0  /\  ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  (deg `  F
)  <_  N )
441, 2, 41, 43syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  dgreq  19626  0dgr  19627  coeaddlem  19630  coemullem  19631  taylply2  19747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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