Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Unicode version

Theorem dgrlt 20176
 Description: Two ways to say that the degree of is strictly less than . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 deg
dgreq0.2 coeff
Assertion
Ref Expression
dgrlt Poly

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7 Poly
21fveq2d 5724 . . . . . 6 Poly deg deg
3 dgreq0.1 . . . . . 6 deg
4 dgr0 20172 . . . . . . 7 deg
54eqcomi 2439 . . . . . 6 deg
62, 3, 53eqtr4g 2492 . . . . 5 Poly
7 nn0ge0 10239 . . . . . 6
87ad2antlr 708 . . . . 5 Poly
96, 8eqbrtrd 4224 . . . 4 Poly
101fveq2d 5724 . . . . . . 7 Poly coeff coeff
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 coeff
12 coe0 20166 . . . . . . . 8 coeff
1312eqcomi 2439 . . . . . . 7 coeff
1410, 11, 133eqtr4g 2492 . . . . . 6 Poly
1514fveq1d 5722 . . . . 5 Poly
16 c0ex 9077 . . . . . . 7
1716fvconst2 5939 . . . . . 6
1817ad2antlr 708 . . . . 5 Poly
1915, 18eqtrd 2467 . . . 4 Poly
209, 19jca 519 . . 3 Poly
21 dgrcl 20144 . . . . . . . 8 Poly deg
223, 21syl5eqel 2519 . . . . . . 7 Poly
2322nn0red 10267 . . . . . 6 Poly
24 nn0re 10222 . . . . . 6
25 ltle 9155 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2an 464 . . . . 5 Poly
2726imp 419 . . . 4 Poly
2811, 3dgrub 20145 . . . . . . . 8 Poly
29283expia 1155 . . . . . . 7 Poly
30 lenlt 9146 . . . . . . . 8
3124, 23, 30syl2anr 465 . . . . . . 7 Poly
3229, 31sylibd 206 . . . . . 6 Poly
3332necon4ad 2659 . . . . 5 Poly
3433imp 419 . . . 4 Poly
3527, 34jca 519 . . 3 Poly
3620, 35jaodan 761 . 2 Poly
37 leloe 9153 . . . . . . 7
3823, 24, 37syl2an 464 . . . . . 6 Poly
3938biimpa 471 . . . . 5 Poly
4039adantrr 698 . . . 4 Poly
41 fveq2 5720 . . . . . 6
423, 11dgreq0 20175 . . . . . . . 8 Poly
4342ad2antrr 707 . . . . . . 7 Poly
44 simprr 734 . . . . . . . 8 Poly
4544eqeq2d 2446 . . . . . . 7 Poly
4643, 45bitr4d 248 . . . . . 6 Poly
4741, 46syl5ibr 213 . . . . 5 Poly
4847orim2d 814 . . . 4 Poly
4940, 48mpd 15 . . 3 Poly
5049orcomd 378 . 2 Poly
5136, 50impbida 806 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  csn 3806   class class class wbr 4204   cxp 4868  cfv 5446  cr 8981  cc0 8982   clt 9112   cle 9113  cn0 10213  c0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  20184  plydivlem4  20205  plydiveu  20207  dgrsub2  27307 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator