Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Unicode version

Theorem dgrmul 20190
 Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dgrmul Poly Poly deg

Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 deg
2 dgradd.2 . . . 4 deg
31, 2dgrmul2 20189 . . 3 Poly Poly deg
43ad2ant2r 729 . 2 Poly Poly deg
5 plymulcl 20142 . . . 4 Poly Poly Poly
65ad2ant2r 729 . . 3 Poly Poly Poly
7 dgrcl 20154 . . . . . 6 Poly deg
81, 7syl5eqel 2522 . . . . 5 Poly
98ad2antrr 708 . . . 4 Poly Poly
10 dgrcl 20154 . . . . . 6 Poly deg
112, 10syl5eqel 2522 . . . . 5 Poly
1211ad2antrl 710 . . . 4 Poly Poly
139, 12nn0addcld 10280 . . 3 Poly Poly
14 eqid 2438 . . . . . 6 coeff coeff
15 eqid 2438 . . . . . 6 coeff coeff
1614, 15, 1, 2coemulhi 20174 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
1716ad2ant2r 729 . . . 4 Poly Poly coeff coeff coeff
1814coef3 20153 . . . . . . 7 Poly coeff
1918ad2antrr 708 . . . . . 6 Poly Poly coeff
2019, 9ffvelrnd 5873 . . . . 5 Poly Poly coeff
2115coef3 20153 . . . . . . 7 Poly coeff
2221ad2antrl 710 . . . . . 6 Poly Poly coeff
2322, 12ffvelrnd 5873 . . . . 5 Poly Poly coeff
241, 14dgreq0 20185 . . . . . . . 8 Poly coeff
2524necon3bid 2638 . . . . . . 7 Poly coeff
2625biimpa 472 . . . . . 6 Poly coeff
2726adantr 453 . . . . 5 Poly Poly coeff
282, 15dgreq0 20185 . . . . . . . 8 Poly coeff
2928necon3bid 2638 . . . . . . 7 Poly coeff
3029biimpa 472 . . . . . 6 Poly coeff
3130adantl 454 . . . . 5 Poly Poly coeff
3220, 23, 27, 31mulne0d 9676 . . . 4 Poly Poly coeff coeff
3317, 32eqnetrd 2621 . . 3 Poly Poly coeff
34 eqid 2438 . . . 4 coeff coeff
35 eqid 2438 . . . 4 deg deg
3634, 35dgrub 20155 . . 3 Poly coeff deg
376, 13, 33, 36syl3anc 1185 . 2 Poly Poly deg
38 dgrcl 20154 . . . . 5 Poly deg
396, 38syl 16 . . . 4 Poly Poly deg
4039nn0red 10277 . . 3 Poly Poly deg
4113nn0red 10277 . . 3 Poly Poly
4240, 41letri3d 9217 . 2 Poly Poly deg deg deg
434, 37, 42mpbir2and 890 1 Poly Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   class class class wbr 4214  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cc 8990  cc0 8992   caddc 8995   cmul 8997   cle 9123  cn0 10223  c0p 19563  Polycply 20105  coeffccoe 20107  degcdgr 20108 This theorem is referenced by:  dgrmulc  20191  dgrcolem1  20193  plydivlem4  20215  plydiveu  20217  fta1lem  20226  quotcan  20228  vieta1lem1  20229  vieta1lem2  20230 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-0p 19564  df-ply 20109  df-coe 20111  df-dgr 20112
 Copyright terms: Public domain W3C validator