Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmulc Unicode version

Theorem dgrmulc 20056
 Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrmulc Poly deg deg

Proof of Theorem dgrmulc
StepHypRef Expression
1 oveq2 6028 . . . 4
21fveq2d 5672 . . 3 deg deg
3 fveq2 5668 . . . 4 deg deg
4 dgr0 20047 . . . 4 deg
53, 4syl6eq 2435 . . 3 deg
62, 5eqeq12d 2401 . 2 deg deg deg
7 ssid 3310 . . . . 5
8 simpl1 960 . . . . 5 Poly
9 plyconst 19992 . . . . 5 Poly
107, 8, 9sylancr 645 . . . 4 Poly Poly
11 0cn 9017 . . . . 5
12 fvconst2g 5884 . . . . . . 7
138, 11, 12sylancl 644 . . . . . 6 Poly
14 simpl2 961 . . . . . 6 Poly
1513, 14eqnetrd 2568 . . . . 5 Poly
16 ne0p 19993 . . . . 5
1711, 15, 16sylancr 645 . . . 4 Poly
18 plyssc 19986 . . . . 5 Poly Poly
19 simpl3 962 . . . . 5 Poly Poly
2018, 19sseldi 3289 . . . 4 Poly Poly
21 simpr 448 . . . 4 Poly
22 eqid 2387 . . . . 5 deg deg
23 eqid 2387 . . . . 5 deg deg
2422, 23dgrmul 20055 . . . 4 Poly Poly deg deg deg
2510, 17, 20, 21, 24syl22anc 1185 . . 3 Poly deg deg deg
26 0dgr 20031 . . . . 5 deg
278, 26syl 16 . . . 4 Poly deg
2827oveq1d 6035 . . 3 Poly deg deg deg
29 dgrcl 20019 . . . . . 6 Poly deg
3019, 29syl 16 . . . . 5 Poly deg
3130nn0cnd 10208 . . . 4 Poly deg
3231addid2d 9199 . . 3 Poly deg deg
3325, 28, 323eqtrd 2423 . 2 Poly deg deg
34 cnex 9004 . . . . . . . 8
3534a1i 11 . . . . . . 7 Poly
36 simp1 957 . . . . . . 7 Poly
3711a1i 11 . . . . . . 7 Poly
3835, 36, 37ofc12 6268 . . . . . 6 Poly
3936mul01d 9197 . . . . . . . 8 Poly
4039sneqd 3770 . . . . . . 7 Poly
4140xpeq2d 4842 . . . . . 6 Poly
4238, 41eqtrd 2419 . . . . 5 Poly
43 df-0p 19429 . . . . . 6
4443oveq2i 6031 . . . . 5
4542, 44, 433eqtr4g 2444 . . . 4 Poly
4645fveq2d 5672 . . 3 Poly deg deg
4746, 4syl6eq 2435 . 2 Poly deg
486, 33, 47pm2.61ne 2625 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717   wne 2550  cvv 2899   wss 3263  csn 3757   cxp 4816  cfv 5394  (class class class)co 6020   cof 6242  cc 8921  cc0 8923   caddc 8926   cmul 8928  cn0 10153  c0p 19428  Polycply 19970  degcdgr 19973 This theorem is referenced by:  dgrsub  20057  dgrcolem2  20059  mpaaeu  27024 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-0p 19429  df-ply 19974  df-coe 19976  df-dgr 19977
 Copyright terms: Public domain W3C validator