Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmulc Structured version   Unicode version

Theorem dgrmulc 20182
 Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrmulc Poly deg deg

Proof of Theorem dgrmulc
StepHypRef Expression
1 oveq2 6082 . . . 4
21fveq2d 5725 . . 3 deg deg
3 fveq2 5721 . . . 4 deg deg
4 dgr0 20173 . . . 4 deg
53, 4syl6eq 2484 . . 3 deg
62, 5eqeq12d 2450 . 2 deg deg deg
7 ssid 3360 . . . . 5
8 simpl1 960 . . . . 5 Poly
9 plyconst 20118 . . . . 5 Poly
107, 8, 9sylancr 645 . . . 4 Poly Poly
11 0cn 9077 . . . . 5
12 fvconst2g 5938 . . . . . . 7
138, 11, 12sylancl 644 . . . . . 6 Poly
14 simpl2 961 . . . . . 6 Poly
1513, 14eqnetrd 2617 . . . . 5 Poly
16 ne0p 20119 . . . . 5
1711, 15, 16sylancr 645 . . . 4 Poly
18 plyssc 20112 . . . . 5 Poly Poly
19 simpl3 962 . . . . 5 Poly Poly
2018, 19sseldi 3339 . . . 4 Poly Poly
21 simpr 448 . . . 4 Poly
22 eqid 2436 . . . . 5 deg deg
23 eqid 2436 . . . . 5 deg deg
2422, 23dgrmul 20181 . . . 4 Poly Poly deg deg deg
2510, 17, 20, 21, 24syl22anc 1185 . . 3 Poly deg deg deg
26 0dgr 20157 . . . . 5 deg
278, 26syl 16 . . . 4 Poly deg
2827oveq1d 6089 . . 3 Poly deg deg deg
29 dgrcl 20145 . . . . . 6 Poly deg
3019, 29syl 16 . . . . 5 Poly deg
3130nn0cnd 10269 . . . 4 Poly deg
3231addid2d 9260 . . 3 Poly deg deg
3325, 28, 323eqtrd 2472 . 2 Poly deg deg
34 cnex 9064 . . . . . . . 8
3534a1i 11 . . . . . . 7 Poly
36 simp1 957 . . . . . . 7 Poly
3711a1i 11 . . . . . . 7 Poly
3835, 36, 37ofc12 6322 . . . . . 6 Poly
3936mul01d 9258 . . . . . . . 8 Poly
4039sneqd 3820 . . . . . . 7 Poly
4140xpeq2d 4895 . . . . . 6 Poly
4238, 41eqtrd 2468 . . . . 5 Poly
43 df-0p 19555 . . . . . 6
4443oveq2i 6085 . . . . 5
4542, 44, 433eqtr4g 2493 . . . 4 Poly
4645fveq2d 5725 . . 3 Poly deg deg
4746, 4syl6eq 2484 . 2 Poly deg
486, 33, 47pm2.61ne 2674 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2949   wss 3313  csn 3807   cxp 4869  cfv 5447  (class class class)co 6074   cof 6296  cc 8981  cc0 8983   caddc 8986   cmul 8988  cn0 10214  c0p 19554  Polycply 20096  degcdgr 20099 This theorem is referenced by:  dgrsub  20183  dgrcolem2  20185  mpaaeu  27324 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473  df-0p 19555  df-ply 20100  df-coe 20102  df-dgr 20103
 Copyright terms: Public domain W3C validator