Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0eldmN Structured version   Unicode version

Theorem dia0eldmN 31838
Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0eldm.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dia0eldm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dia0eldm.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dia0eldmN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  dom  I
)

Proof of Theorem dia0eldmN
StepHypRef Expression
1 hlop 30160 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 dia0eldm.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
53, 4op0cl 29982 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
7 dia0eldm.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
83, 7lhpbase 30795 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
103, 9, 4op0le 29984 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
111, 8, 10syl2an 464 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
12 dia0eldm.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
133, 9, 7, 12diaeldm 31834 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  .0.  e.  dom  I 
<->  (  .0.  e.  (
Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) ) )
146, 11, 13mpbir2and 889 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  dom  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   0.cp0 14466   OPcops 29970   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DIsoAcdia 31826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-undef 6543  df-riota 6549  df-glb 14432  df-p0 14468  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-hlat 30149  df-lhyp 30785  df-disoa 31827
  Copyright terms: Public domain W3C validator