MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diagcl Unicode version

Theorem diagcl 14015
Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor  ( y  e.  D  |->  X ) is a construction that is natural in  X (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
diagval.l  |-  L  =  ( CΔfunc D )
diagval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
diagval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
diagcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  C )
Assertion
Ref Expression
diagcl  |-  ( ph  ->  L  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem diagcl
StepHypRef Expression
1 diagval.l . . 3  |-  L  =  ( CΔfunc D )
2 diagval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3 diagval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
41, 2, 3diagval 14014 . 2  |-  ( ph  ->  L  =  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) ) )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )  =  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )
6 diagcl.q . . 3  |-  Q  =  ( D FuncCat  C )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( C  1stF  D )  =  ( C  1stF  D )
97, 2, 3, 81stfcl 13971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  1stF  D )  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  C )
)
105, 6, 2, 3, 9curfcl 14006 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )  e.  ( C  Func  Q
) )
114, 10eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643  (class class class)co 5858   Catccat 13566    Func cfunc 13728   FuncCat cfuc 13816    X.c cxpc 13942    1stF c1stf 13943   curryF ccurf 13984  Δfunccdiag 13986
This theorem is referenced by:  diag1cl  14016  diag2cl  14020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-func 13732  df-nat 13817  df-fuc 13818  df-xpc 13946  df-1stf 13947  df-curf 13988  df-diag 13990
  Copyright terms: Public domain W3C validator