MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diagcl Unicode version

Theorem diagcl 14108
Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor  ( y  e.  D  |->  X ) is a construction that is natural in  X (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
diagval.l  |-  L  =  ( CΔfunc D )
diagval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
diagval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
diagcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  C )
Assertion
Ref Expression
diagcl  |-  ( ph  ->  L  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem diagcl
StepHypRef Expression
1 diagval.l . . 3  |-  L  =  ( CΔfunc D )
2 diagval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3 diagval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
41, 2, 3diagval 14107 . 2  |-  ( ph  ->  L  =  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) ) )
5 eqid 2358 . . 3  |-  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )  =  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )
6 diagcl.q . . 3  |-  Q  =  ( D FuncCat  C )
7 eqid 2358 . . . 4  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
8 eqid 2358 . . . 4  |-  ( C  1stF  D )  =  ( C  1stF  D )
97, 2, 3, 81stfcl 14064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  1stF  D )  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  C )
)
105, 6, 2, 3, 9curfcl 14099 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. C ,  D >. curryF  ( C  1stF  D ) )  e.  ( C  Func  Q
) )
114, 10eqeltrd 2432 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   <.cop 3719  (class class class)co 5942   Catccat 13659    Func cfunc 13821   FuncCat cfuc 13909    X.c cxpc 14035    1stF c1stf 14036   curryF ccurf 14077  Δfunccdiag 14079
This theorem is referenced by:  diag1cl  14109  diag2cl  14113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-hom 13323  df-cco 13324  df-cat 13663  df-cid 13664  df-func 13825  df-nat 13910  df-fuc 13911  df-xpc 14039  df-1stf 14040  df-curf 14081  df-diag 14083
  Copyright terms: Public domain W3C validator