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Theorem diaglbN 31245
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
diaglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diaglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
diaglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 hlclat 29548 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
32ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
4 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
84, 5, 6, 7diadm 31225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
98sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
109biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  dom  I )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
1110adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
12 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
1311, 12syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
14 diaglb.g . . . . . 6  |-  G  =  ( glb `  K
)
154, 14clatglbcl 14218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
163, 13, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
18 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1917, 18sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
20 hllat 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2120ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
2216adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
23 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  dom  I  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2423adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2524adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
264, 5, 6, 7diaeldm 31226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2825, 27mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
2928simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
30 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
314, 6lhpbase 30187 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
332ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
3413adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
35 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
364, 5, 14clatglble 14229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
3828simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
394, 5, 21, 22, 29, 32, 37, 38lattrd 14164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
4039ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( G `  S
) ( le `  K ) W ) )
4140exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( E. x  x  e.  S  ->  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )
4219, 41mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) W )
43 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
44 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
454, 5, 6, 43, 44, 7diaelval 31223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
461, 16, 42, 45syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
47 r19.28zv 3549 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) ( le
`  K ) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4847ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
49 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
504, 5, 6, 43, 44, 7diaelval 31223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
5149, 28, 50syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( f  e.  ( I `  x )  <-> 
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
5251ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
532ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  CLat )
544, 6, 43, 44trlcl 30353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
5554adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )  e.  ( Base `  K
) )
5613adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
574, 5, 14clatleglb 14230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )  /\  S  C_  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5853, 55, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5958pm5.32da 622 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
6048, 52, 593bitr4rd 277 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
61 vex 2791 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
62 eliin 3910 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
6361, 62ax-mp 8 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x ) )
6460, 63syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6546, 64bitrd 244 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6665eqrdv 2281 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|_ciin 3906   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   glbcglb 14077   Latclat 14151   CLatccla 14213   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   DIsoAcdia 31218
This theorem is referenced by:  diameetN  31246  diaintclN  31248  dibglbN  31356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-disoa 31219
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