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Theorem diaglbN 31853
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
diaglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diaglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
diaglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 hlclat 30156 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
32ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
4 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
84, 5, 6, 7diadm 31833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
98sseq2d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
109biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  dom  I )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
1110adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
12 ssrab2 3428 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
1311, 12syl6ss 3360 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
14 diaglb.g . . . . . 6  |-  G  =  ( glb `  K
)
154, 14clatglbcl 14541 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
163, 13, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
17 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
18 n0 3637 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1917, 18sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
20 hllat 30161 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2120ad3antrrr 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
2216adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
23 ssel2 3343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  dom  I  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2423adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2524adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
264, 5, 6, 7diaeldm 31834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2825, 27mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
2928simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
304, 6lhpbase 30795 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3130ad3antlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
322ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
3313adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
34 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
354, 5, 14clatglble 14552 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
3728simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
384, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37lattrd 14487 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
3919, 38exlimddv 1648 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) W )
40 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
424, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 31831 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
431, 16, 39, 42syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
44 r19.28zv 3723 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) ( le
`  K ) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4544ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
46 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
474, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 31831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( f  e.  ( I `  x )  <-> 
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4948ralbidva 2721 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
502ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  CLat )
514, 6, 40, 41trlcl 30961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
5251adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )  e.  ( Base `  K
) )
5313adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
544, 5, 14clatleglb 14553 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )  /\  S  C_  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5550, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5655pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
5745, 49, 563bitr4rd 278 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
58 vex 2959 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
59 eliin 4098 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x ) )
6157, 60syl6bbr 255 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6243, 61bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6362eqrdv 2434 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   |^|_ciin 4094   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   glbcglb 14400   Latclat 14474   CLatccla 14536   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955   DIsoAcdia 31826
This theorem is referenced by:  diameetN  31854  diaintclN  31856  dibglbN  31964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-disoa 31827
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