Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diasslssN Unicode version

Theorem diasslssN 31301
Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diasslss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diasslss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diasslss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diasslss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diasslssN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)

Proof of Theorem diasslssN
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diasslss.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 diasslss.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diaf11N 31291 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
4 f1ocnvfv2 5877 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
53, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
61, 2diacnvclN 31293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  x )  e.  dom  I )
7 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
97, 8, 1, 2diaeldm 31278 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
116, 10mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) )
12 diasslss.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
13 diasslss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
147, 8, 1, 12, 2, 13dialss 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( `' I `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( `' I `  x )
( le `  K
) W ) )  ->  ( I `  ( `' I `  x ) )  e.  S )
1511, 14syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  e.  S )
165, 15eqeltrrd 2433 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  S )
1716ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  x  e.  S
) )
1817ssrdv 3261 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   `'ccnv 4767   dom cdm 4768   ran crn 4769   -1-1-onto->wf1o 5333   ` cfv 5334   Basecbs 13239   lecple 13306   LSubSpclss 15782   HLchlt 29592   LHypclh 30225   DVecAcdveca 31243   DIsoAcdia 31270
This theorem is referenced by:  diarnN  31371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-undef 6382  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-poset 14173  df-plt 14185  df-lub 14201  df-glb 14202  df-join 14203  df-meet 14204  df-p0 14238  df-p1 14239  df-lat 14245  df-clat 14307  df-lss 15783  df-oposet 29418  df-ol 29420  df-oml 29421  df-covers 29508  df-ats 29509  df-atl 29540  df-cvlat 29564  df-hlat 29593  df-llines 29739  df-lplanes 29740  df-lvols 29741  df-lines 29742  df-psubsp 29744  df-pmap 29745  df-padd 30037  df-lhyp 30229  df-laut 30230  df-ldil 30345  df-ltrn 30346  df-trl 30400  df-tendo 30996  df-edring 30998  df-dveca 31244  df-disoa 31271
  Copyright terms: Public domain W3C validator