Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diasslssN Structured version   Unicode version

Theorem diasslssN 31930
Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diasslss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diasslss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diasslss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diasslss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diasslssN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)

Proof of Theorem diasslssN
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diasslss.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 diasslss.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diaf11N 31920 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
4 f1ocnvfv2 6018 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
53, 4sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
61, 2diacnvclN 31922 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  x )  e.  dom  I )
7 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
97, 8, 1, 2diaeldm 31907 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
116, 10mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) )
12 diasslss.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
13 diasslss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
147, 8, 1, 12, 2, 13dialss 31917 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( `' I `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( `' I `  x )
( le `  K
) W ) )  ->  ( I `  ( `' I `  x ) )  e.  S )
1511, 14syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  e.  S )
165, 15eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  S )
1716ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  x  e.  S
) )
1817ssrdv 3356 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457   Basecbs 13474   lecple 13541   LSubSpclss 16013   HLchlt 30221   LHypclh 30854   DVecAcdveca 31872   DIsoAcdia 31899
This theorem is referenced by:  diarnN  32000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-lss 16014  df-oposet 30047  df-ol 30049  df-oml 30050  df-covers 30137  df-ats 30138  df-atl 30169  df-cvlat 30193  df-hlat 30222  df-llines 30368  df-lplanes 30369  df-lvols 30370  df-lines 30371  df-psubsp 30373  df-pmap 30374  df-padd 30666  df-lhyp 30858  df-laut 30859  df-ldil 30974  df-ltrn 30975  df-trl 31029  df-tendo 31625  df-edring 31627  df-dveca 31873  df-disoa 31900
  Copyright terms: Public domain W3C validator