Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diasslssN Unicode version

Theorem diasslssN 31554
Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diasslss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diasslss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diasslss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diasslss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diasslssN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)

Proof of Theorem diasslssN
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diasslss.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 diasslss.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diaf11N 31544 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
4 f1ocnvfv2 5982 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
53, 4sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  =  x )
61, 2diacnvclN 31546 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  x )  e.  dom  I )
7 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
97, 8, 1, 2diaeldm 31531 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  dom  I 
<->  ( ( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) ) )
116, 10mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  x )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  x ) ( le
`  K ) W ) )
12 diasslss.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
13 diasslss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
147, 8, 1, 12, 2, 13dialss 31541 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( `' I `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( `' I `  x )
( le `  K
) W ) )  ->  ( I `  ( `' I `  x ) )  e.  S )
1511, 14syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  x )
)  e.  S )
165, 15eqeltrrd 2487 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  S )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  x  e.  S
) )
1817ssrdv 3322 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421   Basecbs 13432   lecple 13499   LSubSpclss 15971   HLchlt 29845   LHypclh 30478   DVecAcdveca 31496   DIsoAcdia 31523
This theorem is referenced by:  diarnN  31624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-lss 15972  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tendo 31249  df-edring 31251  df-dveca 31497  df-disoa 31524
  Copyright terms: Public domain W3C validator