Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib0 Unicode version

Theorem dib0 31354
Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dib0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib0.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dib0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dib0.o  |-  O  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dib0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )

Proof of Theorem dib0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
2 resiexg 4997 . . . 4  |-  ( (
Base `  K )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V
4 fvex 5539 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
54mptex 5746 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  _V
63, 5xpsn 5700 . 2  |-  ( { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } )  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. }
7 id 19 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 hlop 29552 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 dib0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
1210, 11op0cl 29374 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
139, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
14 dib0.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1510, 14lhpbase 30187 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
16 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1710, 16, 11op0le 29376 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
188, 15, 17syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
19 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
22 dib0.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
2310, 16, 14, 19, 20, 21, 22dibval2 31334 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .0.  e.  ( Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
247, 13, 18, 23syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  .0.  )  X.  {
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2510, 11, 14, 21dia0 31242 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  =  { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) } )
2625xpeq1d 4712 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } )  =  ( { (  _I  |`  ( Base `  K
) ) }  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2724, 26eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( {
(  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } ) )
28 dib0.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
29 dib0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  U
)
3010, 14, 19, 28, 29, 20dvh0g 31301 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
3130sneqd 3653 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { O }  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } )
326, 27, 313eqtr4a 2341 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   0gc0g 13400   0.cp0 14143   OPcops 29362   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   DIsoAcdia 31218   DVecHcdvh 31268   DIsoBcdib 31328
This theorem is referenced by:  dihvalcqat  31429  dih0  31470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329
  Copyright terms: Public domain W3C validator