Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib0 Structured version   Unicode version

Theorem dib0 31899
Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dib0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib0.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dib0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dib0.o  |-  O  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dib0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )

Proof of Theorem dib0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
2 resiexg 5180 . . . 4  |-  ( (
Base `  K )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V
4 fvex 5734 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
54mptex 5958 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  _V
63, 5xpsn 5902 . 2  |-  ( { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } )  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. }
7 id 20 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 hlop 30097 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 dib0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
1210, 11op0cl 29919 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
139, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
14 dib0.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1510, 14lhpbase 30732 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
16 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1710, 16, 11op0le 29921 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
188, 15, 17syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
19 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
22 dib0.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
2310, 16, 14, 19, 20, 21, 22dibval2 31879 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .0.  e.  ( Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
247, 13, 18, 23syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  .0.  )  X.  {
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2510, 11, 14, 21dia0 31787 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  =  { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) } )
2625xpeq1d 4893 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } )  =  ( { (  _I  |`  ( Base `  K
) ) }  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2724, 26eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( {
(  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } ) )
28 dib0.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
29 dib0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  U
)
3010, 14, 19, 28, 29, 20dvh0g 31846 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
3130sneqd 3819 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { O }  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } )
326, 27, 313eqtr4a 2493 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   <.cop 3809   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485    X. cxp 4868    |` cres 4872   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   0gc0g 13715   0.cp0 14458   OPcops 29907   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   DIsoAcdia 31763   DVecHcdvh 31813   DIsoBcdib 31873
This theorem is referenced by:  dihvalcqat  31974  dih0  32015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lvec 16167  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874
  Copyright terms: Public domain W3C validator