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Theorem dib1dim 31977
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dib1dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib1dim.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dib1dim.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dib1dim.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dib1dim.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dib1dim.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dib1dim  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  {
g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `
 F ) ,  O >. } )
Distinct variable groups:    B, h    g, s, E    g, F, s    H, s    h, s, K    g, O, s    R, s    g, h, T, s    h, W, s
Allowed substitution hints:    B( g, s)    R( g, h)    E( h)    F( h)    H( g, h)    I(
g, h, s)    K( g)    O( h)    W( g)

Proof of Theorem dib1dim
Dummy variables  f 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dib1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 dib1dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dib1dim.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 dib1dim.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
62, 3, 4, 5trlcl 30975 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
87, 3, 4, 5trlle 30995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) W )
9 dib1dim.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
11 dib1dim.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
122, 7, 3, 4, 9, 10, 11dibval2 31956 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 F )  e.  B  /\  ( R `
 F ) ( le `  K ) W ) )  -> 
( I `  ( R `  F )
)  =  ( ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( R `  F
) )  X.  { O } ) )
131, 6, 8, 12syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } ) )
14 relxp 4810 . . . 4  |-  Rel  (
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } )
15 opelxp 4735 . . . . 5  |-  ( <.
f ,  t >.  e.  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  X.  { O } )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  /\  t  e.  { O } ) )
16 dib1dim.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
173, 4, 5, 16, 10dia1dim 31873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  =  { f  |  E. s  e.  E  f  =  ( s `  F ) } )
1817abeq2d 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  <->  E. s  e.  E  f  =  ( s `  F
) ) )
1918anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  /\  t  e.  { O } )  <->  ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } ) ) )
203, 4, 16tendocl 31578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
21203expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
s `  F )  e.  T )
2221an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
s `  F )  e.  T )
232, 3, 4, 16, 9tendo0cl 31601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  O  e.  E )
2522, 24jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
( s `  F
)  e.  T  /\  O  e.  E )
)
26 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( s `  F )  ->  (
f  e.  T  <->  ( s `  F )  e.  T
) )
27 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  O  ->  (
t  e.  E  <->  O  e.  E ) )
2826, 27bi2anan9 843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  ->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E )  <->  ( (
s `  F )  e.  T  /\  O  e.  E ) ) )
2925, 28syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O )  ->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E ) ) )
3029rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  ->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E
) ) )
3130pm4.71rd 616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  <->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E
)  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
32 elsn 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  { O }  <->  t  =  O )
3332anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <-> 
( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
34 r19.41v 2706 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  <->  ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
3533, 34bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <->  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
36 df-3an 936 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
3731, 35, 363bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <-> 
( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
3819, 37bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  /\  t  e.  { O } )  <->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
3915, 38syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( <. f ,  t >.  e.  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } )  <-> 
( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
4014, 39opabbi2dv 4849 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( R `  F
) )  X.  { O } )  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) } )
4113, 40eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) } )
42 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( g  = 
<. ( s `  F
) ,  O >.  <->  <. f ,  t >.  =  <. ( s `  F ) ,  O >. )
)
43 vex 2804 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
44 vex 2804 . . . . . 6  |-  t  e. 
_V
4543, 44opth 4261 . . . . 5  |-  ( <.
f ,  t >.  =  <. ( s `  F ) ,  O >.  <-> 
( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
4642, 45syl6bb 252 . . . 4  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( g  = 
<. ( s `  F
) ,  O >.  <->  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
4746rexbidv 2577 . . 3  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( E. s  e.  E  g  =  <. ( s `  F
) ,  O >.  <->  E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
4847rabxp 4741 . 2  |-  { g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `  F ) ,  O >. }  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) }
4941, 48syl6eqr 2346 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  {
g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `
 F ) ,  O >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {crab 2560   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563   DIsoAcdia 31840   DIsoBcdib 31950
This theorem is referenced by:  dib1dim2  31980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-disoa 31841  df-dib 31951
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