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Theorem dibglbN 31978
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dibglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dibglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dibglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hint:    I( x)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables  f 
s  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
dom  I )
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 dibglb.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dibglb.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6dibdmN 31969 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
87sseq2d 3219 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( S  C_  dom  I  <->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
102, 9mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
11 simprr 733 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
125, 6dibvalrel 31975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
14 n0 3477 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1514biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  S )
1615ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
175, 6dibvalrel 31975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  x
) )
1918a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  Rel  ( I `  x ) ) )
2019ancld 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2120eximdv 1612 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2216, 21mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
23 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
2422, 23sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
25 reliin 4823 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
2624, 25syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
27 id 19 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )
28 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
313, 4, 5, 30diadm 31847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K ) `  W
)  =  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
3231adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  =  { y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
3329, 32sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  dom  ( (
DIsoA `  K ) `  W ) )
34 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( glb `  K
)
3635, 5, 30diaglbN 31867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
3728, 33, 34, 36syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
)
3837eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x ) ) )
39 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
40 eliin 3926 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
4238, 41syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
) )
4342anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
44 r19.27zv 3566 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  /\  s  =  ( h  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4544ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4643, 45bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
47 hlclat 30170 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
4847ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
49 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
5029, 49syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
513, 35clatglbcl 14234 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
53 hllat 30175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
5547ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
56 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
5756, 49syl6ss 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
5855, 57, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5950sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
60 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
613, 5lhpbase 30809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
643, 4, 35clatglble 14245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
6555, 57, 63, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
6629sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
67 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( le `  K ) W  <->  x ( le `  K ) W ) )
6867elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )
6966, 68sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
7069simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
713, 4, 54, 58, 59, 62, 65, 70lattrd 14180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
7271ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W ) )
7372exlimdv 1626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  ( G `  S )
( le `  K
) W ) )
7416, 73mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
) ( le `  K ) W )
75 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
76 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
773, 4, 5, 75, 76, 30, 6dibopelval2 31957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
7828, 52, 74, 77syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
79 opex 4253 . . . . . . 7  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
80 eliin 3926 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
82 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
833, 4, 5, 75, 76, 30, 6dibopelval2 31957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8482, 69, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8584ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8681, 85syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
8746, 78, 863bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
8887eqrelrdv2 4802 . . 3  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
8913, 26, 27, 88syl21anc 1181 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
901, 10, 11, 89syl12anc 1180 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   Rel wrel 4710   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   glbcglb 14093   Latclat 14167   CLatccla 14229   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   DIsoAcdia 31840   DIsoBcdib 31950
This theorem is referenced by:  dibintclN  31979  dihglblem3N  32107  dihmeetlem2N  32111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-disoa 31841  df-dib 31951
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