Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diblsmopel Structured version   Unicode version

Theorem diblsmopel 31906
Description: Membership in subspace sum for partial isomorphism B. (Contributed by NM, 21-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
diblsmopel.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
diblsmopel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
diblsmopel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diblsmopel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
diblsmopel.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
diblsmopel.v  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diblsmopel.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
diblsmopel.q  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
diblsmopel.p  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
diblsmopel.j  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diblsmopel.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
diblsmopel.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
diblsmopel.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
diblsmopel.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
Assertion
Ref Expression
diblsmopel  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Distinct variable groups:    B, f    f, H    f, K    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    .+b ( f)    .(+) (
f)    S( f)    U( f)    F( f)    I( f)    J( f)   
.<_ ( f)    O( f)    V( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem diblsmopel
Dummy variables  x  w  y  z  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diblsmopel.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 diblsmopel.x . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
3 diblsmopel.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 diblsmopel.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 diblsmopel.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 diblsmopel.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 diblsmopel.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
93, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31905 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  ( LSubSp `  U )
)
101, 2, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
11 diblsmopel.y . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
123, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31905 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  e.  ( LSubSp `  U )
)
131, 11, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
15 diblsmopel.p . . . 4  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
165, 6, 14, 8, 15dvhopellsm 31852 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
171, 10, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
18 excom 1756 . . . 4  |-  ( E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )
19 diblsmopel.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 diblsmopel.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
21 diblsmopel.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
223, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
231, 2, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
243, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y
)  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
251, 11, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y )  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
2623, 25anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) ) ) )
27 an4 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) ) )
28 ancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
2927, 28bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
3026, 29syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) ) )
3130anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
32 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
33 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
3432, 33bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) )
3531, 34syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) ) )
36352exbidv 1638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. y E. w
( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) ) )
37 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
3819, 37eqeltri 2505 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
_V
3938mptex 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  e. 
_V
4020, 39eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  O  e. 
_V
41 opeq2 3977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  O  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  O >. )
4241oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  O  ->  ( <. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )
4342eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
45 opeq2 3977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  O  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  O >. )
4645oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  O  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) )
4746eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
4847anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) ) ) )
4940, 40, 44, 48ceqsex2v 2985 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
501adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
512adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
52 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( J `  X
) )
533, 4, 5, 19, 21diael 31778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  x  e.  ( J `  X
) )  ->  x  e.  T )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  T )
55 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
563, 5, 19, 55, 20tendo0cl 31524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
5811adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( J `  Y
) )
603, 4, 5, 19, 21diael 31778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  ->  z  e.  T )
6150, 58, 59, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  T )
62 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
63 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
645, 19, 55, 6, 62, 14, 63dvhopvadd 31828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  /\  ( z  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6550, 54, 57, 61, 57, 64syl122anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6665eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  <. F ,  S >.  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. ) )
67 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
68 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
6967, 68coex 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  z )  e. 
_V
70 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  e.  _V
7169, 70opth2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x  o.  z
)  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) ) )
72 diblsmopel.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
73 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  V )  =  ( +g  `  V )
745, 19, 72, 73dvavadd 31749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x ( +g  `  V ) z )  =  ( x  o.  z ) )
7550, 54, 61, 74syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
x ( +g  `  V
) z )  =  ( x  o.  z
) )
7675eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  <->  F  =  ( x  o.  z
) ) )
7776bicomd 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x  o.  z )  <->  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
78 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
795, 19, 55, 6, 62, 78, 63dvhfplusr 31819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8050, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U
) )  =  ( s  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8180oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) O ) )
823, 5, 19, 55, 20, 78tendo0pl 31525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) O )  =  O )
8350, 57, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  t  e.  (
( TEndo `  K ) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) O )  =  O )
8481, 83eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  O )
8584eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( S  =  ( O
( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  <->  S  =  O
) )
8677, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
( F  =  ( x  o.  z )  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8771, 86syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8866, 87bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8988pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9049, 89syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9136, 90bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9291exbidv 1636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z E. y E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9318, 92syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9493exbidv 1636 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. y E. z E. w
( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
95 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) )
9695bicomi 194 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O ) )
97962exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
98 19.41vv 1925 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
9997, 98bitri 241 . . 3  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
1005, 72dvalvec 31761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  LVec )
101 lveclmod 16170 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  LVec  ->  V  e. 
LMod )
1021, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  LMod )
103 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  V )  =  (
LSubSp `  V )
104103lsssssubg 16026 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V ) )
105102, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V )
)
1063, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( J `  X )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1071, 2, 106syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
108105, 107sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V ) )
1093, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( J `  Y )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1101, 11, 109syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
111105, 110sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  (SubGrp `  V ) )
112 diblsmopel.q . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
11373, 112lsmelval 15275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V )  /\  ( J `  Y )  e.  (SubGrp `  V )
)  ->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X ) E. z  e.  ( J `  Y ) F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) ) )
114108, 111, 113syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X
) E. z  e.  ( J `  Y
) F  =  ( x ( +g  `  V
) z ) ) )
115 r2ex 2735 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( J `
 X ) E. z  e.  ( J `
 Y ) F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
116114, 115syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) ) )
117116anbi1d 686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
) )
118117bicomd 193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X ) 
.(+)  ( J `  Y ) )  /\  S  =  O )
) )
11999, 118syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
12017, 94, 1193bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   <.cop 3809   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   lecple 13528  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LVecclvec 16166   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   TEndoctendo 31486   DVecAcdveca 31736   DIsoAcdia 31763   DVecHcdvh 31813   DIsoBcdib 31873
This theorem is referenced by:  dib2dim  31978  dih2dimbALTN  31980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lvec 16167  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874
  Copyright terms: Public domain W3C validator