Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diblsmopel Unicode version

Theorem diblsmopel 31286
Description: Membership in subspace sum for partial isomorphism B. (Contributed by NM, 21-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
diblsmopel.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
diblsmopel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
diblsmopel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diblsmopel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
diblsmopel.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
diblsmopel.v  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diblsmopel.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
diblsmopel.q  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
diblsmopel.p  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
diblsmopel.j  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diblsmopel.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
diblsmopel.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
diblsmopel.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
diblsmopel.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
Assertion
Ref Expression
diblsmopel  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Distinct variable groups:    B, f    f, H    f, K    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    .+b ( f)    .(+) (
f)    S( f)    U( f)    F( f)    I( f)    J( f)   
.<_ ( f)    O( f)    V( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem diblsmopel
Dummy variables  x  w  y  z  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diblsmopel.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 diblsmopel.x . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
3 diblsmopel.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 diblsmopel.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 diblsmopel.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 diblsmopel.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 diblsmopel.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
8 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
93, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31285 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  ( LSubSp `  U )
)
101, 2, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
11 diblsmopel.y . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
123, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31285 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  e.  ( LSubSp `  U )
)
131, 11, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2387 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
15 diblsmopel.p . . . 4  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
165, 6, 14, 8, 15dvhopellsm 31232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
171, 10, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
18 excom 1748 . . . 4  |-  ( E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )
19 diblsmopel.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 diblsmopel.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
21 diblsmopel.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
223, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
231, 2, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
243, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y
)  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
251, 11, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y )  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
2623, 25anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) ) ) )
27 an4 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) ) )
28 ancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
2927, 28bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
3026, 29syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) ) )
3130anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
32 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
33 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
3432, 33bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) )
3531, 34syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) ) )
36352exbidv 1635 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. y E. w
( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) ) )
37 fvex 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
3819, 37eqeltri 2457 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
_V
3938mptex 5905 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  e. 
_V
4020, 39eqeltri 2457 . . . . . . . 8  |-  O  e. 
_V
41 opeq2 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  O  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  O >. )
4241oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  O  ->  ( <. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )
4342eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
45 opeq2 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  O  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  O >. )
4645oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  O  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) )
4746eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
4847anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) ) ) )
4940, 40, 44, 48ceqsex2v 2936 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
501adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
512adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
52 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( J `  X
) )
533, 4, 5, 19, 21diael 31158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  x  e.  ( J `  X
) )  ->  x  e.  T )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  T )
55 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
563, 5, 19, 55, 20tendo0cl 30904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
5811adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( J `  Y
) )
603, 4, 5, 19, 21diael 31158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  ->  z  e.  T )
6150, 58, 59, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  T )
62 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
63 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
645, 19, 55, 6, 62, 14, 63dvhopvadd 31208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  /\  ( z  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6550, 54, 57, 61, 57, 64syl122anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6665eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  <. F ,  S >.  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. ) )
67 vex 2902 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
68 vex 2902 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
6967, 68coex 5353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  z )  e. 
_V
70 ovex 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  e.  _V
7169, 70opth2 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x  o.  z
)  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) ) )
72 diblsmopel.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
73 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  V )  =  ( +g  `  V )
745, 19, 72, 73dvavadd 31129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x ( +g  `  V ) z )  =  ( x  o.  z ) )
7550, 54, 61, 74syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
x ( +g  `  V
) z )  =  ( x  o.  z
) )
7675eqeq2d 2398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  <->  F  =  ( x  o.  z
) ) )
7776bicomd 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x  o.  z )  <->  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
78 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
795, 19, 55, 6, 62, 78, 63dvhfplusr 31199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8050, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U
) )  =  ( s  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8180oveqd 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) O ) )
823, 5, 19, 55, 20, 78tendo0pl 30905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) O )  =  O )
8350, 57, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  t  e.  (
( TEndo `  K ) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) O )  =  O )
8481, 83eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  O )
8584eqeq2d 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( S  =  ( O
( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  <->  S  =  O
) )
8677, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
( F  =  ( x  o.  z )  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8771, 86syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8866, 87bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8988pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9049, 89syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9136, 90bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9291exbidv 1633 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z E. y E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9318, 92syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9493exbidv 1633 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. y E. z E. w
( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
95 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) )
9695bicomi 194 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O ) )
97962exbii 1590 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
98 19.41vv 1914 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
9997, 98bitri 241 . . 3  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
1005, 72dvalvec 31141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  LVec )
101 lveclmod 16105 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  LVec  ->  V  e. 
LMod )
1021, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  LMod )
103 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  V )  =  (
LSubSp `  V )
104103lsssssubg 15961 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V ) )
105102, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V )
)
1063, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( J `  X )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1071, 2, 106syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
108105, 107sseldd 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V ) )
1093, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( J `  Y )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1101, 11, 109syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
111105, 110sseldd 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  (SubGrp `  V ) )
112 diblsmopel.q . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
11373, 112lsmelval 15210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V )  /\  ( J `  Y )  e.  (SubGrp `  V )
)  ->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X ) E. z  e.  ( J `  Y ) F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) ) )
114108, 111, 113syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X
) E. z  e.  ( J `  Y
) F  =  ( x ( +g  `  V
) z ) ) )
115 r2ex 2687 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( J `
 X ) E. z  e.  ( J `
 Y ) F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
116114, 115syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) ) )
117116anbi1d 686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
) )
118117bicomd 193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X ) 
.(+)  ( J `  Y ) )  /\  S  =  O )
) )
11999, 118syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
12017, 94, 1193bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   <.cop 3760   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    _I cid 4434    |` cres 4820    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   Basecbs 13396   +g cplusg 13456  Scalarcsca 13459   lecple 13463  SubGrpcsubg 14865   LSSumclsm 15195   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LVecclvec 16101   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866   DVecAcdveca 31116   DIsoAcdia 31143   DVecHcdvh 31193   DIsoBcdib 31253
This theorem is referenced by:  dib2dim  31358  dih2dimbALTN  31360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lvec 16102  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tgrp 30857  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dveca 31117  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254
  Copyright terms: Public domain W3C validator