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Theorem diblsmopel 31361
Description: Membership in subspace sum for partial isomorphism B. (Contributed by NM, 21-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
diblsmopel.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
diblsmopel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
diblsmopel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diblsmopel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
diblsmopel.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
diblsmopel.v  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
diblsmopel.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
diblsmopel.q  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
diblsmopel.p  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
diblsmopel.j  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
diblsmopel.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
diblsmopel.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
diblsmopel.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
diblsmopel.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
Assertion
Ref Expression
diblsmopel  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Distinct variable groups:    B, f    f, H    f, K    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    .+b ( f)    .(+) (
f)    S( f)    U( f)    F( f)    I( f)    J( f)   
.<_ ( f)    O( f)    V( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem diblsmopel
Dummy variables  x  w  y  z  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diblsmopel.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 diblsmopel.x . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
3 diblsmopel.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 diblsmopel.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 diblsmopel.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 diblsmopel.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 diblsmopel.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
93, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31360 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  ( LSubSp `  U )
)
101, 2, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
11 diblsmopel.y . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
123, 4, 5, 6, 7, 8diblss 31360 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  e.  ( LSubSp `  U )
)
131, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
15 diblsmopel.p . . . 4  |-  .+b  =  ( LSSum `  U )
165, 6, 14, 8, 15dvhopellsm 31307 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
171, 10, 13, 16syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
18 excom 1786 . . . 4  |-  ( E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )
19 diblsmopel.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 diblsmopel.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
21 diblsmopel.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
223, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
231, 2, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  <->  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  y  =  O ) ) )
243, 4, 5, 19, 20, 21, 7dibopelval2 31335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y
)  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
251, 11, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y )  <->  ( z  e.  ( J `  Y
)  /\  w  =  O ) ) )
2623, 25anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) ) ) )
27 an4 797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) ) )
28 ancom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( y  =  O  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
2927, 28bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  y  =  O )  /\  ( z  e.  ( J `  Y )  /\  w  =  O ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) )
3026, 29syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) ) ) )
3130anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
32 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
33 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
y  =  O  /\  w  =  O )  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
3432, 33bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  =  O  /\  w  =  O )  /\  (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y >. ( +g  `  U ) <.
z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) )
3531, 34syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) ) ) )
36352exbidv 1614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. y E. w
( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) ) )
37 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
3819, 37eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
_V
3938mptex 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  e. 
_V
4020, 39eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  O  e. 
_V
41 opeq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  O  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  O >. )
4241oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  O  ->  ( <. x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )
4342eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )
4443anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) ) )
45 opeq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  O  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  O >. )
4645oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  O  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. )  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) )
4746eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  O  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
4847anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  O  ->  (
( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) ) ) )
4940, 40, 44, 48ceqsex2v 2825 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. ) ) )
501adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
512adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( J `  X
) )
533, 4, 5, 19, 21diael 31233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  x  e.  ( J `  X
) )  ->  x  e.  T )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  x  e.  T )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
563, 5, 19, 55, 20tendo0cl 30979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
5750, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
5811adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
59 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( J `  Y
) )
603, 4, 5, 19, 21diael 31233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  ->  z  e.  T )
6150, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  z  e.  T )
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
63 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
645, 19, 55, 6, 62, 14, 63dvhopvadd 31283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  /\  ( z  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6550, 54, 57, 61, 57, 64syl122anc 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. )  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. )
6665eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  <. F ,  S >.  =  <. ( x  o.  z ) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >. ) )
67 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
68 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
6967, 68coex 5216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  z )  e. 
_V
70 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  e.  _V
7169, 70opth2 4248 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x  o.  z
)  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) ) )
72 diblsmopel.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
73 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  V )  =  ( +g  `  V )
745, 19, 72, 73dvavadd 31204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x ( +g  `  V ) z )  =  ( x  o.  z ) )
7550, 54, 61, 74syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
x ( +g  `  V
) z )  =  ( x  o.  z
) )
7675eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  <->  F  =  ( x  o.  z
) ) )
7776bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( F  =  ( x  o.  z )  <->  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
795, 19, 55, 6, 62, 78, 63dvhfplusr 31274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8050, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U
) )  =  ( s  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) )
8180oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) O ) )
823, 5, 19, 55, 20, 78tendo0pl 30980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) O )  =  O )
8350, 57, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  t  e.  (
( TEndo `  K ) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) O )  =  O )
8481, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  =  O )
8584eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( S  =  ( O
( +g  `  (Scalar `  U ) ) O )  <->  S  =  O
) )
8677, 85anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  (
( F  =  ( x  o.  z )  /\  S  =  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8771, 86syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( x  o.  z
) ,  ( O ( +g  `  (Scalar `  U ) ) O ) >.  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8866, 87bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  O >. ( +g  `  U
) <. z ,  O >. )  <->  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) )
8988pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  <. F ,  S >.  =  (
<. x ,  O >. ( +g  `  U )
<. z ,  O >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9049, 89syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( y  =  O  /\  w  =  O  /\  ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9136, 90bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. z ,  w >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
9291exbidv 1612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z E. y E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9318, 92syl5bb 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
x ,  y >.
( +g  `  U )
<. z ,  w >. ) )  <->  E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) ) )
9493exbidv 1612 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. y E. z E. w
( ( <. x ,  y >.  e.  ( I `  X )  /\  <. z ,  w >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <. x ,  y
>. ( +g  `  U
) <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) ) ) )
95 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( (
x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  (
x ( +g  `  V
) z )  /\  S  =  O )
) )
9695bicomi 193 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( (
( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O ) )
97962exbii 1570 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
98 19.41vv 1843 . . . 4  |-  ( E. x E. z ( ( ( x  e.  ( J `  X
)  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
9997, 98bitri 240 . . 3  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  ( F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `
 X )  /\  z  e.  ( J `  Y ) )  /\  F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
)
1005, 72dvalvec 31216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  LVec )
101 lveclmod 15859 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  LVec  ->  V  e. 
LMod )
1021, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  LMod )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  V )  =  (
LSubSp `  V )
104103lsssssubg 15715 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V ) )
105102, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  V )  C_  (SubGrp `  V )
)
1063, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( J `  X )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1071, 2, 106syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
108105, 107sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V ) )
1093, 4, 5, 72, 21, 103dialss 31236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( J `  Y )  e.  ( LSubSp `  V )
)
1101, 11, 109syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  ( LSubSp `  V ) )
111105, 110sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  (SubGrp `  V ) )
112 diblsmopel.q . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  V )
11373, 112lsmelval 14960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J `  X
)  e.  (SubGrp `  V )  /\  ( J `  Y )  e.  (SubGrp `  V )
)  ->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X ) E. z  e.  ( J `  Y ) F  =  ( x
( +g  `  V ) z ) ) )
114108, 111, 113syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x  e.  ( J `  X
) E. z  e.  ( J `  Y
) F  =  ( x ( +g  `  V
) z ) ) )
115 r2ex 2581 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( J `
 X ) E. z  e.  ( J `
 Y ) F  =  ( x ( +g  `  V ) z )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) )
116114, 115syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J `  X
)  .(+)  ( J `  Y ) )  <->  E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) ) ) )
117116anbi1d 685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O )  <->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )
) )
118117bicomd 192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  F  =  ( x ( +g  `  V ) z ) )  /\  S  =  O )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X ) 
.(+)  ( J `  Y ) )  /\  S  =  O )
) )
11999, 118syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x E. z ( ( x  e.  ( J `  X )  /\  z  e.  ( J `  Y
) )  /\  ( F  =  ( x
( +g  `  V ) z )  /\  S  =  O ) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
12017, 94, 1193bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .+b  ( I `  Y
) )  <->  ( F  e.  ( ( J `  X )  .(+)  ( J `
 Y ) )  /\  S  =  O ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   lecple 13215  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LVecclvec 15855   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TEndoctendo 30941   DVecAcdveca 31191   DIsoAcdia 31218   DVecHcdvh 31268   DIsoBcdib 31328
This theorem is referenced by:  dib2dim  31433  dih2dimbALTN  31435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lvec 15856  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329
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