Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibss Structured version   Unicode version

Theorem dibss 31905
Description: The partial isomorphism B maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 1-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dibss.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dibss.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dibss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dibss.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dibss.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dibss.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dibss  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  V )

Proof of Theorem dibss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibss.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dibss.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dibss.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
61, 2, 3, 4, 5diass 31778 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  X )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
8 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  B ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  B ) )
91, 3, 4, 7, 8tendo0cl 31525 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) )  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
109snssd 3936 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) }  C_  (
( TEndo `  K ) `  W ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) } 
C_  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
12 xpss12 4974 . . 3  |-  ( ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) }  C_  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  X
)  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) } )  C_  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )
136, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  X )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) } )  C_  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ) )
14 dibss.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
151, 2, 3, 4, 8, 5, 14dibval2 31880 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  X
)  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  B ) ) } ) )
16 dibss.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
17 dibss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
183, 4, 7, 16, 17dvhvbase 31823 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
1918adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  V  =  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )
2013, 15, 193sstr4d 3384 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313   {csn 3807   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259    _I cid 4486    X. cxp 4869    |` cres 4873   ` cfv 5447   Basecbs 13462   lecple 13529   HLchlt 30086   LHypclh 30719   LTrncltrn 30836   TEndoctendo 31487   DIsoAcdia 31764   DVecHcdvh 31814   DIsoBcdib 31874
This theorem is referenced by:  diblss  31906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tendo 31490  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875
  Copyright terms: Public domain W3C validator