Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicelval2nd Structured version   Unicode version

Theorem dicelval2nd 31988
Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice  K. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicelval2nd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dicelval2nd.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dicelval2nd.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dicelval2nd.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dicelval2nd.i  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dicelval2nd  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E )

Proof of Theorem dicelval2nd
StepHypRef Expression
1 dicelval2nd.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 dicelval2nd.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 dicelval2nd.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dicelval2nd.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
5 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
6 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dicssdvh 31985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
8 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 dicelval2nd.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
103, 8, 9, 5, 6dvhvbase 31886 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
127, 11sseqtrd 3385 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  E
) )
1312sseld 3348 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Y  e.  ( I `  Q )  ->  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  E ) ) )
14133impia 1151 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
15 xp2nd 6378 . 2  |-  ( Y  e.  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  E
)  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E
)
1614, 15syl 16 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213    X. cxp 4877   ` cfv 5455   2ndc2nd 6349   Basecbs 13470   lecple 13537   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LHypclh 30782   LTrncltrn 30899   TEndoctendo 31550   DVecHcdvh 31877   DIsoCcdic 31971
This theorem is referenced by:  dicvaddcl  31989  dicvscacl  31990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tendo 31553  df-dvech 31878  df-dic 31972
  Copyright terms: Public domain W3C validator