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Theorem dicvscacl 31678
Description: Membership in value of the partial isomorphism C is closed under scalar product. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicvscacl.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dicvscacl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dicvscacl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dicvscacl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dicvscacl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dicvscacl.i  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
dicvscacl.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dicvscacl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  ( I `  Q ) )

Proof of Theorem dicvscacl
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  X  e.  E
)
3 dicvscacl.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 dicvscacl.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 dicvscacl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dicvscacl.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
7 dicvscacl.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
93, 4, 5, 6, 7, 8dicssdvh 31673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( Base `  U ) )
10 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 dicvscacl.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
125, 10, 11, 7, 8dvhvbase 31574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  E ) )
1312eqcomd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E )  =  ( Base `  U
) )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E )  =  ( Base `  U
) )
159, 14sseqtr4d 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  E
) )
16153adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( I `  Q )  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  E ) )
17 simp3r 986 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  Y  e.  ( I `  Q ) )
1816, 17sseldd 3313 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  E ) )
19 dicvscacl.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
205, 10, 11, 7, 19dvhvsca 31588 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) ) )  ->  ( X  .x.  Y )  = 
<. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) ) >. )
211, 2, 18, 20syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X  .x.  Y )  =  <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) )
>. )
22 fvi 5746 . . . . . 6  |-  ( X  e.  E  ->  (  _I  `  X )  =  X )
232, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  (  _I  `  X )  =  X )
2423coeq1d 4997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( (  _I 
`  X )  o.  ( 2nd `  Y
) )  =  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) ) )
2524opeq2d 3955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) ) >.  =  <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) )
>. )
2621, 25eqtr4d 2443 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X  .x.  Y )  =  <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y ) )
>. )
27 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( ( oc `  K ) `
 W )  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
283, 4, 5, 27, 10, 6dicelval1sta 31674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 1st `  Y )  =  ( ( 2nd `  Y
) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ) )
29283adant3l 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( 1st `  Y
)  =  ( ( 2nd `  Y ) `
 ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ) )
3029fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X `  ( 1st `  Y ) )  =  ( X `
 ( ( 2nd `  Y ) `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) ) ) )
313, 4, 5, 11, 6dicelval2nd 31676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E )
32313adant3l 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( 2nd `  Y
)  e.  E )
335, 10, 11tendof 31249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( 2nd `  Y
)  e.  E )  ->  ( 2nd `  Y
) : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
341, 32, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( 2nd `  Y
) : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
35 eqid 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
363, 35, 4, 5lhpocnel 30504 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  A  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W )  .<_  W ) )
37363ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  A  /\  -.  (
( oc `  K
) `  W )  .<_  W ) )
38 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
39 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  =  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )
403, 4, 5, 10, 39ltrniotacl 31065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  A  /\  -.  (
( oc `  K
) `  W )  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
411, 37, 38, 40syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
42 fvco3 5763 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2nd `  Y
) : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( X  o.  ( 2nd `  Y ) ) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) )  =  ( X `
 ( ( 2nd `  Y ) `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( ( X  o.  ( 2nd `  Y
) ) `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) )  =  ( X `  (
( 2nd `  Y
) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ) ) )
4430, 43eqtr4d 2443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X `  ( 1st `  Y ) )  =  ( ( X  o.  ( 2nd `  Y ) ) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ) )
4524fveq1d 5693 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) ) `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) )  =  ( ( X  o.  ( 2nd `  Y ) ) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q ) ) )
4644, 45eqtr4d 2443 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X `  ( 1st `  Y ) )  =  ( ( (  _I  `  X
)  o.  ( 2nd `  Y ) ) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ) )
475, 11tendococl 31258 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  E  /\  ( 2nd `  Y
)  e.  E )  ->  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) )  e.  E )
481, 2, 32, 47syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X  o.  ( 2nd `  Y ) )  e.  E )
4924, 48eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( (  _I 
`  X )  o.  ( 2nd `  Y
) )  e.  E
)
50 fvex 5705 . . . . 5  |-  ( X `
 ( 1st `  Y
) )  e.  _V
51 fvex 5705 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  X )  e. 
_V
52 fvex 5705 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  Y )  e.  _V
5351, 52coex 5376 . . . . 5  |-  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) )  e.  _V
543, 4, 5, 27, 10, 11, 6, 50, 53dicopelval 31664 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) ) >.  e.  ( I `  Q )  <-> 
( ( X `  ( 1st `  Y ) )  =  ( ( (  _I  `  X
)  o.  ( 2nd `  Y ) ) `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) )  /\  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) )  e.  E
) ) )
55543adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y ) )
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( ( X `  ( 1st `  Y ) )  =  ( ( (  _I 
`  X )  o.  ( 2nd `  Y
) ) `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) )  /\  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y ) )  e.  E ) ) )
5646, 49, 55mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  <. ( X `  ( 1st `  Y ) ) ,  ( (  _I  `  X )  o.  ( 2nd `  Y
) ) >.  e.  ( I `  Q ) )
5726, 56eqeltrd 2482 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( X  e.  E  /\  Y  e.  ( I `  Q ) ) )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  ( I `  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   <.cop 3781   class class class wbr 4176    _I cid 4457    X. cxp 4839    o. ccom 4845   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   iota_crio 6505   Basecbs 13428   .scvsca 13492   lecple 13495   occoc 13496   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   TEndoctendo 31238   DVecHcdvh 31565   DIsoCcdic 31659
This theorem is referenced by:  diclss  31680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tendo 31241  df-dvech 31566  df-dic 31660
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